Закон Ньютона

Для ньютоновского потенциала постоянного гравитационного поля вдали от создающих его масс можно написать разложение аналогичное тому, которое было получено для электростатического поля. Выберем начало координат в центре инерции масс. Тогда интеграл ∫μrdV, аналогичный дипольному моменту системы зарядов, тождественно обратится в нуль. Таким образом, в отличие от электрического поля, в гравитационном поле всегда можно исключить «дипольный член». Разложение потенциала φ имеет, следовательно, вид

φ = − k + D_αβ + ...,    (99.7)

где М=∫μdV — полная масса системы, а величины

D_αβ = μ (3x_αx_β − r²δ_αβ) dV                    (99.8)

можно назвать тензором квадруполъного момента масс. Он связан с обычным тензором моментов инерции

J_αβ = μ (r²δ_αβ − x_αx_β) dV

очевидными соотношениями

D_αβ = J_γγδ_αβ − 3J_αβ.                                 (99.9)

Определение ньютоновского потенциала по заданному распределению масс составляет предмет одного из разделов математической физики; изложение соответствующих методов не входит в нашу задачу. Мы приведем здесь для справочных целей лишь формулы для потенциала гравитационного поля, создаваемого однородным эллипсоидальным телом.

Пусть поверхность эллипсоида задается уравнением

+ + = 1,  a > b > c.                   (99.10)

Тогда потенциал поля в произвольной точке x, y, z вне тела дается следующей формулой:

φ = − πμabck 1 − − − ,    (99.11)

R_s = ,

где ξ — положительный корень уравнения

+ +  = 1.                                 (99.12)

Потенциал поля внутри эллипсоида определяется формулой

φ = − πμabck 1 − − − ,    (99.13)

отличающейся от (99.11) заменой нижнего предела нулем; отметим, что это выражение является квадратичной функцией координат x, y, z.

Гравитационная энергия тела получается, согласно (99.6), интегрированием выражения (99.13) по объему эллипсоида. Оно производится элементарно и дает

U = + + − 1 = sd −

(m=abcμ —полная масса тела); интегрируя первый член по частям, окончательно получим

U = − .                                (99.14)

Все интегралы, входящие в формулы (99.11)—(99.14), приводятся к эллиптическим интегралам первого и второго рода. Для эллипсоидов вращения эти интегралы выражаются через элементарные функции. В частности, гравитационная энергия сплюснутого эллипсоида вращения (a=b>c):

U =  arccos ,                   (99.15)

а для вытянутого эллипсоида вращения (a>b=c):

U =  Arch .                      (99.16)

Для шара (a=c) обе формулы дают значение U=−3km2/5a, которое, разумеется, можно получить и элементарным путем.