20 | 07 | 2024

Центрально-симметричное гравитационное поле

Рассмотрим гравитационное поле, обладающее центральной симметрией. Такое поле может создаваться любым центрально-симметричным распределением вещества; при этом, конечно, центрально-симметричным должно быть не только распределение, но и движение вещества, т. е. скорость в каждой точке должна быть направлена по радиусу.

Центральная симметрия поля означает, что метрика пространства-времени, т. е. выражение для интервала ds, должна быть одинакова во всех точках, находящихся на одинаковом расстоянии от центра. В евклидовом пространстве это расстояние равно радиус-вектору; в неевклидовом же пространстве, каким оно является при наличии гравитационного поля, нет величины, которая обладала бы всеми свойствами евклидова радиус-вектора (одновременно равного расстоянию до центра и деленной на 2π длине окружности). Поэтому выбор «радиус-вектора» теперь произволен.

Если пользоваться «сферическими» пространственными координатами r, θ, φ, то наиболее общим центрально-симметричным выражением для ds2 является

ds2 = h(r,t)dr2 + k(r,t)(sin2 θ · 2 + 2) + l(r,t)dt2 + a(r,t)dr dt,    (100.1)

где a, h, kl — некоторые функции от «радиус-вектора» r и «времени» t. Но, ввиду произвольности в выборе системы отсчета в общей теории относительности, мы можем еще подвергнуть координаты любому преобразованию, не нарушающему центральной симметрии ds2; это значит, что мы можем преобразовать координаты r и t посредством формул

r = f1 (r',t'),  t = f2(r',t'),

где f1, f2 —любые функции от новых координат r', t'.

Воспользовавшись этой возможностью, выберем координату r и время t таким образом, чтобы, во-первых, коэффициент a(r,t) при dr dt в выражении для ds2 обратился в нуль и, во-вторых, коэффициент k(r,t) был равен просто −r2. Последнее означает, что радиус-вектор r определен таким образом, чтобы длина окружности с центром в начале координат была равна 2πr (элемент дуги окружности в плоскости θ=π/2 равен dl=rdφ). Величины h и l нам будет удобно писать в экспоненциальном виде, соответственно как −eλ и c2ev, где λ и v — некоторые функции от r и t. Таким образом, получим для ds2 следующее выражение:

ds2 = evc2dt2 − r2(2 + sin2 θ · 2) − eλdr2.    (100.2)

Подразумевая под x0, x1, x2, x3 соответственно ct, r, θ, φ, мы имеем, следовательно, для отличных от нуля компонент метрического тензора выражения

g00 = evg11 = −eλg22 = −r2g33 = −r2 sin2 θ.

Очевидно, что

g00 = evg11eλ,  g22 = −r2g33 = −r2 sin−2 θ.

С помощью этих значений легко вычислить по формуле (86.3) величины . Вычисление приводит к следующим выражениям (штрих означает дифференцирование по r, а точка над буквой дифференцирование по ct):

= − sin θ cos θ eλv,  = − reλ eλ = ctg θ = = = − r sin2 θeλ.     (100.3)

Все остальные компоненты  (кроме тех, которые отличаются от написанных перестановкой индексов k и l) равны нулю.

Для составления уравнений надо вычислить по формуле (92.7) компоненты тензора . Простые вычисления приводят в результате к следующим уравнениям:

= eλ + + ,         (100.4)

= = −  eλ ν" +  + ev + ,   (100.5)

eλ ,         (100.6)

 eλ                                (100.7)

(остальные компоненты уравнения (95.6) тождественно обращаются в нуль). Компоненты тензора энергии-импульса могут быть выражены с помощью формулы (94.9) через плотность энергии материи ε, ее давление p и радиальную скорость v.

Уравнения (100.4)−(100.7) могут быть проинтегрированы до конца в очень важном случае центрально-симметричного поля в пустоте, т. е. вне создающих его масс. Полагая тензор энергии-импульса равным нулю, получим следующие уравнения:

eλ +  − = 0,      (100.8)

eλ  + = 0,      (100.9)

= 0                                (100.10)

(четвертое уравнение, т.е. уравнение (100.5), можно не выписывать, так как оно является следствием трех остальных уравнений).

Из (100.10) мы видим, что λ не зависит от времени. Далее, складывая уравнения (100.8), (100.9), находим λ'+v'=0, т.е.

λ + v = ƒ(t),                     (100.11)

где ƒ(t)— функция только от времени. Но, выбрав интервал ds2 в виде (100.2), мы оставили за собой еще возможность произвольного преобразования времени вида t=ƒ(t'). Такое преобразование эквивалентно прибавлению к v произвольной функции времени, и с его помощью можно всегда обратить ƒ(t) в (100.11) в нуль. Итак, не ограничивая общности, можно считать, что λ+v=0. Отметим, что центрально-симметричное гравитационное поле в пустоте автоматически оказывается статическим.

Уравнение (100.9) легко интегрируется и дает

eλ = еv = 1 + .      (100.12)

Как и следовало, на бесконечности (г→∞) eλv=1, т. е. вдали от гравитирующих тел, метрика автоматически оказывается галилеевой. Постоянную const легко выразить через массу тела, потребовав, чтобы на больших расстояниях, где поле слабо, имел место закон Ньютона. Именно, должно быть g00=1+2φ/c2, где потенциал φ равен своему ньютоновскому выражению (99.4): φ=−km/r (m — полная масса создающего поле тела). Отсюда видно, что const=−2km/c. Эта величина имеет размерность длины; ее называют гравитационным радиусом тела rg:

rg = .                 (100.13)

Таким образом, окончательно находим пространственно-временную метрику в виде

ds2 = 1 − с2dt2 − r2(sin2 θdφ2 + 2) − .    (100.14)

Это решение уравнений Эйнштейна было найдено Шварцшильдом. Им полностью определяется гравитационное поле в пустоте, создаваемое любым центрально-симметричным распределением масс. Подчеркнем, что это решение справедливо не только для покоящихся, но и для движущихся масс, если только движение тоже обладает должной симметрией (скажем, центрально-симметричные пульсации). Отметим, что метрика (100.14) зависит только от полной массы гравитирующего тела, как и в аналогичной задаче ньютоновской теории.

Пространственная метрика определяется выражением для элемента пространственного расстояния:

dl2 + r2(sin2 θdφ2 + 2).      (100.15)

Геометрический смысл координаты r определяется тем, что в метрике (100.15) длина окружности с центром в центре поля равна 2πr. Расстояние же между двумя точками r1 и r2 на одном и том же радиусе дается интегралом

> r2r1.        (100.16)

Далее мы видим, что g00⩽1. В связи с формулой (84.1) (=dt/c), определяющей истинное время, отсюда следует, что

  dt.                                 (100.17)

Знак равенства имеет место на бесконечности, где t совпадает с истинным временем. Таким образом, на конечных расстояниях от масс происходит «замедление» времени по сравнению со временем на бесконечности.