Центрально-симметричное гравитационное поле

Рассмотрим гравитационное поле, обладающее центральной симметрией. Такое поле может создаваться любым центрально-симметричным распределением вещества; при этом, конечно, центрально-симметричным должно быть не только распределение, но и движение вещества, т. е. скорость в каждой точке должна быть направлена по радиусу.

Центральная симметрия поля означает, что метрика пространства-времени, т. е. выражение для интервала ds, должна быть одинакова во всех точках, находящихся на одинаковом расстоянии от центра. В евклидовом пространстве это расстояние равно радиус-вектору; в неевклидовом же пространстве, каким оно является при наличии гравитационного поля, нет величины, которая обладала бы всеми свойствами евклидова радиус-вектора (одновременно равного расстоянию до центра и деленной на 2π длине окружности). Поэтому выбор «радиус-вектора» теперь произволен.

Если пользоваться «сферическими» пространственными координатами r, θ, φ, то наиболее общим центрально-симметричным выражением для ds² является

ds² = h(r,t)dr² + k(r,t)(sin² θ · dφ² + dθ²) + l(r,t)dt² + a(r,t)dr dt,    (100.1)

где a, h, k, l — некоторые функции от «радиус-вектора» r и «времени» t. Но, ввиду произвольности в выборе системы отсчета в общей теории относительности, мы можем еще подвергнуть координаты любому преобразованию, не нарушающему центральной симметрии ds²; это значит, что мы можем преобразовать координаты r и t посредством формул

r = f₁ (r',t'),  t = f₂(r',t'),

где f₁, f₂ —любые функции от новых координат r', t'.

Воспользовавшись этой возможностью, выберем координату r и время t таким образом, чтобы, во-первых, коэффициент a(r,t) при dr dt в выражении для ds² обратился в нуль и, во-вторых, коэффициент k(r,t) был равен просто −r². Последнее означает, что радиус-вектор r определен таким образом, чтобы длина окружности с центром в начале координат была равна 2πr (элемент дуги окружности в плоскости θ=π/2 равен dl=rdφ). Величины h и l нам будет удобно писать в экспоненциальном виде, соответственно как −e^λ и c2e^v, где λ и v — некоторые функции от r и t. Таким образом, получим для ds² следующее выражение:

ds² = e^vc²dt² − r²(dθ² + sin² θ · dφ²) − e^λdr².    (100.2)

Подразумевая под x⁰, x¹, x², x³ соответственно ct, r, θ, φ, мы имеем, следовательно, для отличных от нуля компонент метрического тензора выражения

g₀₀ = e^v,  g₁₁ = −e^λ,  g₂₂ = −r²,  g₃₃ = −r² sin² θ.

Очевидно, что

g⁰⁰ = e^−v,  g¹¹ = −e^−λ,  g²² = −r⁻²,  g³³ = −r⁻² sin⁻² θ.

С помощью этих значений легко вычислить по формуле (86.3) величины . Вычисление приводит к следующим выражениям (штрих означает дифференцирование по r, а точка над буквой дифференцирование по ct):

= ,  = ,  = − sin θ cos θ,  =  e^λ−v,  = − re^−λ,  =  e^λ,  =  = ,  = ctg θ,  = ,  = ,  = − r sin² θe^−λ.     (100.3)

Все остальные компоненты  (кроме тех, которые отличаются от написанных перестановкой индексов k и l) равны нулю.

Для составления уравнений надо вычислить по формуле (92.7) компоненты тензора . Простые вычисления приводят в результате к следующим уравнениям:

= −e^−λ + + ,         (100.4)

= = −  e^−λ ν" +  + − +  e^−v + − ,   (100.5)

= −e^−λ − + ,         (100.6)

  = −e^−λ                                (100.7)

(остальные компоненты уравнения (95.6) тождественно обращаются в нуль). Компоненты тензора энергии-импульса могут быть выражены с помощью формулы (94.9) через плотность энергии материи ε, ее давление p и радиальную скорость v.

Уравнения (100.4)−(100.7) могут быть проинтегрированы до конца в очень важном случае центрально-симметричного поля в пустоте, т. е. вне создающих его масс. Полагая тензор энергии-импульса равным нулю, получим следующие уравнения:

e^−λ +  − = 0,      (100.8)

e^−λ −  + = 0,      (100.9)

= 0                                (100.10)

(четвертое уравнение, т.е. уравнение (100.5), можно не выписывать, так как оно является следствием трех остальных уравнений).

Из (100.10) мы видим, что λ не зависит от времени. Далее, складывая уравнения (100.8), (100.9), находим λ'+v'=0, т.е.

λ + v = ƒ(t),                     (100.11)

где ƒ(t)— функция только от времени. Но, выбрав интервал ds² в виде (100.2), мы оставили за собой еще возможность произвольного преобразования времени вида t=ƒ(t'). Такое преобразование эквивалентно прибавлению к v произвольной функции времени, и с его помощью можно всегда обратить ƒ(t) в (100.11) в нуль. Итак, не ограничивая общности, можно считать, что λ+v=0. Отметим, что центрально-симметричное гравитационное поле в пустоте автоматически оказывается статическим.

Уравнение (100.9) легко интегрируется и дает

e^−λ = е^v = 1 + .      (100.12)

Как и следовало, на бесконечности (г→∞) e^−λ=е^v=1, т. е. вдали от гравитирующих тел, метрика автоматически оказывается галилеевой. Постоянную const легко выразить через массу тела, потребовав, чтобы на больших расстояниях, где поле слабо, имел место закон Ньютона. Именно, должно быть g₀₀=1+2φ/c², где потенциал φ равен своему ньютоновскому выражению (99.4): φ=−km/r (m — полная масса создающего поле тела). Отсюда видно, что const=−2km/c. Эта величина имеет размерность длины; ее называют гравитационным радиусом тела r_g:

r_g = .                 (100.13)

Таким образом, окончательно находим пространственно-временную метрику в виде

ds² = 1 − с²dt² − r²(sin² θdφ² + dθ²) − .    (100.14)

Это решение уравнений Эйнштейна было найдено Шварцшильдом. Им полностью определяется гравитационное поле в пустоте, создаваемое любым центрально-симметричным распределением масс. Подчеркнем, что это решение справедливо не только для покоящихся, но и для движущихся масс, если только движение тоже обладает должной симметрией (скажем, центрально-симметричные пульсации). Отметим, что метрика (100.14) зависит только от полной массы гравитирующего тела, как и в аналогичной задаче ньютоновской теории.

Пространственная метрика определяется выражением для элемента пространственного расстояния:

dl² =  + r²(sin² θdφ² + dθ²).      (100.15)

Геометрический смысл координаты r определяется тем, что в метрике (100.15) длина окружности с центром в центре поля равна 2πr. Расстояние же между двумя точками r₁ и r₂ на одном и том же радиусе дается интегралом

> r₂ − r₁.        (100.16)

Далее мы видим, что g₀₀⩽1. В связи с формулой (84.1) (dτ=dt/c), определяющей истинное время, отсюда следует, что

dτ ⩽ dt.                                 (100.17)

Знак равенства имеет место на бесконечности, где t совпадает с истинным временем. Таким образом, на конечных расстояниях от масс происходит «замедление» времени по сравнению со временем на бесконечности.