20 | 04 | 2024

Центрально-симметричное гравитационное поле

Наконец, приведем приближенное выражение для ds2 на больших расстояниях от начала координат:

ds2 = d (dr2 + c2dt2).     (100.18)

Второй член представляет собой малую поправку к галилеевой метрике d. На больших расстояниях от создающих поле масс всякое поле центрально-симметрично. Поэтому (100.18) определяет метрику на больших расстояниях от любой системы тел.

Некоторые общие соображения можно высказать и по поводу центрально-симметричного гравитационного поля внутри гравитирующих масс. Из уравнения (100.6) видно, что при r→λ должно тоже обращаться в нуль, по крайней мере как r2; в противном случае правая часть уравнения обратилась бы при r→0 в бесконечность, т. е.  имело бы в r=0 особую точку. Интегрируя формально уравнение (100.6) с граничным условием λ|r=0= 0, получим

λ = − ln 1 − r2dr.        (100.19)

Поскольку в силу (94.10) =evT00⩾0, то отсюда видно, что λ⩾0, т. е.

eλ  1.                                (100.20)

Далее, вычитая уравнение (100.6) почленно из уравнения (100.4), получим

(v' + λ') =   ( − ) =  ⩾ 0,

т. е. v'+λ'⩾0. Но при r→∞ (вдали от масс) метрика переходит в галилееву, т. е. v→0, λ→0. Поэтому из v'+λ'⩾0 следует, что во всем пространстве

v + λ 0.                          (100.21)

Поскольку λ⩾0, то отсюда следует, что v0, т. е.

еv  1.                             (100.22)

Полученные неравенства показывают, что указанные выше свойства (100.16), (100.17) пространственной метрики и хода часов в центрально-симметричном поле в пустоте относятся в той же мере и к полю внутри гравитирующих масс.

Если гравитационное поле создается сферическим телом «радиуса» a, то при r>a имеем =0. Для точек с r>a формула (100.19) поэтому дает

λ = − ln 1 − r2dr.

С другой стороны, здесь можно применить относящееся к пустоте выражение (100.14), согласно которому

λ = − ln 1 − .

Сравнивая оба выражения, найдем формулу

m r2dr,                     (100.23)

определяющую полную массу тела по его тензору энергии-импульса. В частности, для статического распределения вещества в теле имеем =ε, так что

m εr2dr.                       (100.24)

Обратим внимание на то, что интегрирование производится по 4πr2dr, между тем как элемент пространственного объема в метрике (100.2) есть dV=4πr2eλ/2dr, причем, согласно (100.20), eλ/2 >1. Это различие выражает собой гравитационный дефект массы тела.