Страница 2 из 2
Наконец, приведем приближенное выражение для ds2 на больших расстояниях от начала координат:
ds2 = d
− 
(dr2 + c2dt2). (100.18)
Второй член представляет собой малую поправку к галилеевой метрике d. На больших расстояниях от создающих поле масс всякое поле центрально-симметрично. Поэтому (100.18) определяет метрику на больших расстояниях от любой системы тел.
Некоторые общие соображения можно высказать и по поводу центрально-симметричного гравитационного поля внутри гравитирующих масс. Из уравнения (100.6) видно, что при r→0 λ должно тоже обращаться в нуль, по крайней мере как r2; в противном случае правая часть уравнения обратилась бы при r→0 в бесконечность, т. е. 
имело бы в r=0 особую точку. Интегрируя формально уравнение (100.6) с граничным условием λ|r=0= 0, получим
λ = − ln 
1 − 
r2dr
. (100.19)
Поскольку в силу (94.10) =e−vT00⩾0, то отсюда видно, что λ⩾0, т. е.
eλ ⩾ 1. (100.20)
Далее, вычитая уравнение (100.6) почленно из уравнения (100.4), получим
(v' + λ') = 
( − 
) = 
⩾ 0,
т. е. v'+λ'⩾0. Но при r→∞ (вдали от масс) метрика переходит в галилееву, т. е. v→0, λ→0. Поэтому из v'+λ'⩾0 следует, что во всем пространстве
v + λ ⩽ 0. (100.21)
Поскольку λ⩾0, то отсюда следует, что v⩽0, т. е.
еv ⩽ 1. (100.22)
Полученные неравенства показывают, что указанные выше свойства (100.16), (100.17) пространственной метрики и хода часов в центрально-симметричном поле в пустоте относятся в той же мере и к полю внутри гравитирующих масс.
Если гравитационное поле создается сферическим телом «радиуса» a, то при r>a имеем =0. Для точек с r>a формула (100.19) поэтому дает
λ = − ln 1 − 
r2dr.
С другой стороны, здесь можно применить относящееся к пустоте выражение (100.14), согласно которому
λ = − ln 1 − .
Сравнивая оба выражения, найдем формулу
m = 
r2dr, (100.23)
определяющую полную массу тела по его тензору энергии-импульса. В частности, для статического распределения вещества в теле имеем =ε, так что
m = 
εr2dr. (100.24)
Обратим внимание на то, что интегрирование производится по 4πr2dr, между тем как элемент пространственного объема в метрике (100.2) есть dV=4πr2eλ/2dr, причем, согласно (100.20), eλ/2 >1. Это различие выражает собой гравитационный дефект массы тела.
