Принцип наименьшего действия

Наиболее общая формулировка закона движения механических систем дается так называемым принципом наименьшего действия (или принципом Гамильтона). Согласно этому принципу каждая механическая система характеризуется определенной функцией

 L(q₁, q₂, ..., q_s, ₁, ₂, ..., _s, t)

или, в краткой записи, L(q,,t), причем движение системы удовлетворяет следующему условию.

Пусть в моменты времени t=t₁ и t=t₂ система занимает определенные положения, характеризуемые двумя наборами значений координат q⁽¹⁾ и q⁽²⁾. Тогда между этими положениями система движется таким образом, чтобы интеграл

          (2.1)

имел наименьшее возможное значение. Функция L называется функцией Лагранжа данной системы, а интеграл (2.1) — действием.

Тот факт, что функция Лагранжа содержит только q и , но не более высокие производные , , ..., является выражением указанного выше факта, что механическое состояние полностью определяется заданием координат и скоростей.

Перейдем к выводу дифференциальных уравнений, решающих задачу об определении максимума интеграла (2.1). Для упрощения записи формул предположим сначала, что система обладает всего одной степенью свободы, так что должна быть определена всего одна функция q(t).

Пусть q=q(t) есть как раз та функция, для которой S имеет минимум. Это значит, что S возрастает при замене q(t) на любую функцию вида

q(t) + δq(t),                 (2.2)

где δq(t) — функция, малая во всем интервале времени от t₁ до t₂ (ее называют вариацией функции q(t)); поскольку при t=t₁ и t=t₂ все сравниваемые функции (2.2) должны принимать одни и те же значения q⁽¹⁾ и q⁽²⁾, то должно быть:

δq(t₁) = δq(t₂) = 0.        (2.3)

Изменение S при замене q на q+δq дается разностью

L(q+δq, +δ,t) dt − L(q, ,t) dt.

Разложение этой разности по степеням δq и δ (в подынтегральном выражении) начинается с членов первого порядка. Необходимым условием минимальности S²) является обращение в нуль совокупности этих членов; ее называют первой вариацией (или обычно просто вариацией) интеграла. Таким образом, принцип наименьшего действия можно записать в виде

δS = δL(q, ,t ) dt = 0,    (2.4)

или, произведя варьирование:

δq + δ dt = 0.

Замечая, что δ=δq, проинтегрируем второй член по частям:

δS = δq +  −   δq dt = 0

Но в силу условий (2.3) первый член в этом выражении исчезает. Остается интеграл, который должен быть равен нулю при произвольных значениях δq. Это возможно только в том случае, если подынтегральное выражение тождественно обращается в нуль. Таким образом, мы получаем уравнение

− = 0