Функция Лагранжа системы материальных точек

Рассмотрим теперь систему материальных точек, взаимодействующих только друг с другом, т.е. ни с какими посторонними телами не взаимодействующих; такую систему называют замкнутой. Оказывается, что взаимодействие между материальными точками может быть описано прибавлением к функции Лагранжа невзаимодействующих точек (4.2) определенной (зависящей от характера взаимодействия) функции координат. Обозначив эту функцию через — U, напишем

L =  − U (r₁, r₂, ... )                     (5.1)

(г_α — радиус-вектор α-й точки). Это есть общий вид функции Лагранжа замкнутой системы.

Сумму

T =

называют кинетической энергией, а функцию U — потенциальной энергией системы.

Тот факт, что потенциальная энергия зависит только от расположения всех материальных точек в один и тот же момент времени, означает, что изменение положения одной из них мгновенно отражается на всех остальных; можно сказать, что взаимодействия «распространяются» мгновенно. Неизбежность такого характера взаимодействия в классической механике тесно связана с основными предпосылками последней — абсолютностью времени и принципом относительности Галилея. Если бы взаимодействие распространялось не мгновенно, т.е. с конечной скоростью, то эта скорость была бы различна в разных (движущихся друг относительно друга) системах отсчета, так как абсолютность времени автоматически означает применимость обычного правила сложения скоростей ко всем явлениям. Но тогда законы движения взаимодействующих тел были бы различны в разных (инерциальных) системах отсчета, что противоречило бы принципу относительности.

Вид функции Лагранжа (5.1) показывает, что время не только однородно, но и изотропно, т.е. его свойства одинаковы по обоим направлениям. В самом деле, замена t на −t оставляет функцию Лагранжа, а следовательно, и уравнения движения неизменными. Другими словами, если в системе возможно некоторое движение, то всегда возможно и обратное движение, т.е. такое, при котором система проходит те же состояния в обратном порядке. В этом смысле все движения, происходящие по законам классической механики, обратимы.

Зная функцию Лагранжа, мы можем составить уравнения движения

=                   (5.2)

Подставив сюда (5.1), получим

m_α = −                   (5.3)

Уравнения движения в этой форме называются уравнениями Ньютона и представляют собой основу механики системы взаимодействующих частиц. Вектор

F_α = −                         (5.4)

стоящий в правой части уравнений (5.3), называется силой, действующей на α-ю точку. Вместе с U она зависит от координат всех частиц, но не от их скоростей. Уравнения (5.3) показывают поэтому, что и векторы ускорения частиц являются функциями только от координат.

Потенциальная энергия есть величина, определяемая лишь с точностью до прибавления к ней произвольной постоянной; такое прибавление не изменило бы уравнений движения (частный случай неоднозначности функции Лагранжа). Наиболее естественный и обычно принятый способ выбора этой постоянной заключается в том, чтобы потенциальная энергия стремилась к нулю при увеличении расстояний между частицами.

Если для описания движения используются не декартовы координаты точек, а произвольные обобщенные координаты q_i, то для получения лагранжевой функции надо произвести соответствующее преобразование

_α = ƒ_α(q₁, q₂, ..., q_s),  _α = _k                  и т.д.