Действие для электромагнитного поля

Всякое решение уравнений поля является полем, которое может быть осуществлено в природе. Согласно принципу суперпозиции сумма любых таких полей тоже должна быть полем, которое может быть осуществлено в природе, т. е. должно удовлетворять уравнениям поля.

Как известно, линейные дифференциальные уравнения как раз отличаются тем свойством, что сумма любых его решений тоже является решением. Следовательно, уравнения для поля должны быть линейными дифференциальными уравнениями.

Из сказанного следует, что под знаком интеграла в действии S_f должно стоять выражение, квадратичное по полю. Только в этом случае уравнения поля будут линейными, — уравнения поля получаются варьированием действия, а при варьировании степень подынтегрального выражения понижается на единицу.

В выражение для действия S_f не могут входить потенциалы поля, так как они не определены однозначно (в S_mf эта неоднозначность была не существенна). Поэтому S_f должно быть интегралом некоторой функции от тензора электромагнитного поля F_ik Но действие должно быть скаляром и потому должно быть интегралом от некоторого скаляра. Таковым является лишь произведение F_ikF^ik.

Таким образом, должно иметь вид

S_f = aF_ikF^ikdV dt,  dV = dx dy dz,

где интеграл берется по координатам по всему пространству, а по времени — между двумя заданными моментами; а есть некоторая постоянная. Под интегралом стоит F_ikF^ik=2(H² − E²). Поле E содержит производную ∂A/∂t. Но легко видеть, что (∂A/∂t)² должно входить в действие с положительным знаком (а потому и Е² с положительным знаком). Действительно, если бы (∂A/∂t)² входило в S_f со знаком минус, то достаточно быстрым изменением потенциала со временем (в рассматриваемом интервале времени) всегда можно было бы сделать S_f отрицательной величиной со сколь угодно большим абсолютным значением; S_f не могло бы, следовательно, иметь минимума, как этого требует принцип наименьшего действия. Таким образом, а должно быть отрицательным.