Страница 1 из 2
Вместо того чтобы рассматривать заряды как точечные, в целях математического удобства часто рассматривают заряд как распределенный в пространстве непрерывным образом. Тогда можно ввести плотность заряда ρ так, что ρdV есть заряд, находящийся в объеме dV; ρ есть, вообще говоря, функция от координат и времени. Интеграл от ρ по некоторому объему есть заряд, находящийся в этом объеме.
При этом надо помнить, что в действительности заряды являются точечными, так что плотность ρ равна нулю везде, кроме тех точек, где находятся точечные заряды, а интеграл ∫ ρdV должен быть равен сумме тех зарядов, которые находятся в данном объеме. Поэтому ρ можно написать с помощью δ-функций в следующем виде:
ρ = 
eaδ(r − ra), (28.1)
где сумма берется по всем имеющимся зарядам, а ra — радиус-вектор заряда ea.
δ-функция определяется следующим образом: δ(x)=0 при всех не равных нулю значениях x; при x=0 δ(0)=
, причем так, что интеграл
δ(x) dx = 1.
Из этого определения вытекают следующие свойства: если f(x) — любая непрерывная функция, то
f(x) δ(x − a) dx = f(a);
в частности,
f(x) δ(x) dx = f(0);
(пределы интегрирования, разумеется, не обязательно должны быть ±; областью интегрирования может быть любая область, заключающая ту точку, в которой δ-функция не исчезает).
Смысл следующих равенств заключается в том, что их левая и правая части дают одинаковые результаты, если их применять в качестве множителей под знаком интегрирования:
δ(−x) = δ(x), δ(ax) = 
δ(x).
Последнее равенство является частным случаем более общего соотношения
δ[φ(x)] = 
δ(x − ai),
где φ(x) — однозначная функция (обратная ей функция не обязана быть однозначной), а ai — корни уравнения φ(x)=0.
