Вторая пара уравнений Максвелла

При нахождении уравнений поля из принципа наименьшего действия мы должны считать заданным движение зарядов и должны варьировать только потенциалы поля (играющие здесь роль «координат» системы); при нахождении уравнений движения мы, наоборот, считали поле заданным и варьировали траекторию частицы.

Поэтому вариация первого члена в (28.6) равна теперь нулю, а во втором не должен варьироваться ток jⁱ. Таким образом,

δS = −    jⁱ δA_i + F^ikδF_ikdΩ = 0

(при варьировании во втором члене учтено, что F^ikδF_ik≡F_ikδF^ik. Подставляя

F_ik =  − ,

имеем

δS = −   jⁱ δA_i + F^ikδA_k − F^ikδA_idΩ.

Во втором члене меняем местами индексы i и k, по которым производится суммирование, и, кроме того, заменяем F_ik на −F_ik. Тогда мы получим

δS = −   jⁱ δA_i + F^ikδA_idΩ.

Второй из этих интегралов берем по частям, т.е. применяем теорему Гаусса:

δS = −   jⁱ + δA_i dΩ − F^ikδA_i dS_k.    (30.1)

Во втором члене мы должны взять его значение на пределах интегрирования. Пределами интегрирования по координатам является бесконечность, где поле исчезает. На пределах же интегрирования по времени, т. е. в заданные начальный и конечный моменты времени, вариация потенциалов равна нулю, так как по смыслу принципа наименьшего действия потенциалы в эти моменты заданы. Таким образом, второй член в (30.1) равен нулю, и мы находим

jⁱ + δA_i dΩ = 0.