Страница 1 из 5
В предыдущем параграфе мы вывели выражение для энергии электромагнитного поля. Выведем это выражение, вместе с выражением для импульса поля, в четырехмерной форме. При этом мы будем для простоты рассматривать пока электромагнитное поле без зарядов. Имея в виду дальнейшее применение (к гравитационным полям), а также упрощение выкладок, мы проделаем вывод в общем виде, не конкретизируя род системы.
Рассмотрим некоторую систему, интеграл действия для которой имеет вид
S = 
Λ
q,
dV dt = 
Λ dΩ, (32.1)
где Λ — некоторая функция от величин q, определяющих состояние системы и их производных по координатам и времени (для электромагнитного поля величинами q являются компоненты 4-потенциала); для краткости мы пишем здесь всего одну такую величину q. Заметим, что интеграл по пространству ∫ΛdV есть функция Лагранжа системы, так что Λ можно рассматривать как «плотность» функции Лагранжа. Математическим выражением замкнутости системы является отсутствие явной зависимости Λ от xi, подобно тому, как функция Лагранжа для замкнутой механической системы не зависит явно от времени.
«Уравнения движения» (т. е. уравнения поля, если речь идет о каком-либо поле) получаются согласно принципу наименьшего действия путем варьирования S. Имеем (для краткости обозначаем q,i≡∂q/∂xi)
δS = 
δq + 
δq,i dΩ = 
δq + 
δq − δq 
dΩ = 0.
Второй член под интегралом, будучи преобразован по теореме Гаусса, исчезает при интегрировании по всему пространству, и мы находим тогда следующие «уравнения движения»:
− = 0 (32.2)
(везде, конечно, подразумевается суммирование по дважды повторяющемуся индексу i).
Дальнейший вывод аналогичен тому, который производится в механике для вывода закона сохранения энергии. Именно, пишем
= 
+ 
.
Подставляя сюда (32.2) и замечая, что q,k,i=q,i,k, находим
= 
q,i + 
= q,i .
