Тензор энергии-импульса

Заменив в левой части равенства

= δ_i^k 

и введя обозначение

T_i^k = q_,i  − δ_i^kΛ,                                     (32.3)

напишем полученное соотношение в виде

= 0.                                                (32.4)

Если имеется не одна, а несколько величин q^(l) то вместо (32.3) надо, очевидно, писать:

T_i^k =  − δ_i^kΛ.                        (32.5)

Мы видели ранее, что уравнение вида ∂A^k/∂x^k=0, т.е. равенство нулю 4-дивергенции вектора, эквивалентно утверждению, что сохраняется интеграл ∫A^kdS_k от этого вектора по гиперповерхности, заключающей в себе все трехмерное пространство. Очевидно, что аналогичное утверждение справедливо и для тензора: уравнение (32.4) эквивалентно утверждению, что сохраняется вектор

Pⁱ = const • T^ikdS_k.

Этот вектор и должен быть отождествлен с 4-импульсом системы. Постоянный множитель перед интегралом мы выберем так, чтобы временная компонента P⁰ в соответствии с прежним определением была равна энергии системы, деленной на c. Для этого замечаем, что

P⁰ = const • T^0kdS_k = const • T⁰⁰dV,

если интегрирование производится по гиперплоскости x⁰=const. С другой стороны, согласно (32.3) имеем

T⁰⁰ =  − Λ

(где =∂q/∂t). В соответствии с обычной формулой, связывающей энергию с функцией Лагранжа, эту величину надо рассматривать как плотность энергии, и поэтому ∫T⁰⁰dV есть полная энергия системы. Таким образом, надо положить const=1/c, и мы получаем окончательно для 4-импульса системы выражение

Pⁱ = T^ikdS_k.                                      (32.6)

Тензор T^ik называется тензором энергии-импульса системы.