Тензор энергии-импульса

Необходимо заметить, что определение тензора T^ik по существу не однозначно. Действительно, если T^ik — тензор, определенный согласно (32.3), то и всякий другой тензор вида

T^ik +  ψ^ikl,  ψ^ikl = −ψ^ilk,                       (32.7)

удовлетворяет уравнению сохранения (32.4), так как тождественно =0 ввиду антисимметричности тензора ψ^ikl по индексам k, l. Полный 4-импульс системы при этом вообще не изменится, так как согласно (6.17) имеем

dS_k = dS_k − dS_i = ψ^ikldf^*_kl,

где интегрирование в правой части равенства производится по поверхности (обычной), «охватывающей» гиперповерхность, по которой производится интегрирование в левой части равенства. Эта поверхность находится, очевидно, на бесконечности трехмерного пространства, и, поскольку поле или частицы на бесконечности отсутствуют, интеграл равен нулю. Таким образом, 4-импульс системы является, как и следовало, однозначно определенной величиной.

Для однозначного же определения тензора T^ik можно воспользоваться требованием, чтобы 4-тензор момента импульса выражался через 4-импульс посредством

M^ik = (xⁱdP^k − x^kdPⁱ) = (xⁱT^kl − x^kT^il) dS_l,       (32.8)

т.е. так, чтобы его плотность выражалась через плотность импульса обычной формулой.

Легко найти, какому условию должен для этого удовлетворять тензор энергии-импульса. Закон сохранения момента может быть выражен, как мы уже знаем, равенством нулю дивергенции подынтегрального выражения в M^ik. Таким образом,

(xⁱT^kl − x^kT^il) = 0.                            (32.9)