Тензор энергии-импульса

Замечая, что ∂xⁱ/∂x^l=δ_lⁱ и ∂T^kl/∂x^l=0, находим

δ_lⁱT^kl − δ_lⁱT^il = T^ki − T^ik = 0,

или

T^ik = T^ki,                                            (32.10)

т. е. тензор энергии-импульса должен быть симметричен.

Заметим, что тензор T^ik, определенный формулой (32.5), вообще говоря, не симметричен, но может быть сделай таковым заменой (32.7) с надлежащим образом выбранным ψ^ikl. В дальнейшем мы увидим, что существует способ непосредственного получения симметричного тензора T^ik.

Как уже упоминалось выше, если производить интегрирование в (32.6) по гиперплоскости x⁰=const, то Pⁱ приобретает вид

Pⁱ = Tⁱ⁰dV,                                (32.11)

где интегрирование производится по всему пространству (трех-мерному). Пространственные компоненты Pⁱ образуют трехмерный вектор импульса системы, а временная компонента есть деленная на с ее энергия. Поэтому вектор с составляющими

T¹⁰,  T²⁰, T³⁰

можно назвать плотностью импульса, а величину

W = T⁰⁰

можно рассматривать как плотность энергии.

Для выяснения смысла остальных компонент T^ik напишем уравнения сохранения (32.4), отделив в них пространственные и временные производные:

  +  = 0,   +  = 0,           (32.12)