Тензор энергии-импульса

Проинтегрируем эти уравнения по некоторому объему пространства V. Из первого имеем

T⁰⁰dV + dV = 0,

или, преобразуя второй интеграл по (трехмерной) теореме Гаусса,

T⁰⁰dV = −cT⁰df,                                   (32.13)

где интеграл справа берется по поверхности, охватывающей объем V (df_x, df_y, df_z — компоненты трехмерного вектора элемента поверхности df). В левой части равенства (32.13) стоит скорость изменения энергии, находящейся в объеме V. Отсюда видно, что выражение справа есть количество энергии, протекающей через границу этого объема, а вектор S с составляющими

cT⁰¹,  cT⁰²,  cT⁰³

есть плотность этого потока — количество энергии, протекающей в единицу времени через единицу поверхности. Таким образом, мы приходим к важному выводу о том, что требования релятивистской инвариантности, заключенные в тензорном характере величин T^ik, автоматически приводят к определенной связи между потоком энергии и импульсом: плотность потока энергии равна плотности импульса, умноженной на c².

Из второго уравнения (32.12) аналогичным путем находим

TdV = −T^βdf_β.                        (32 14)

Слева стоит изменение импульса системы в объеме V в единицу времени; поэтому T^βdf_β есть количество импульса, вытекающее в единицу времени из этого объема. Таким образом, компоненты T^β тензора энергии-импульса составляют трехмерный тензор плотности потока импульса; обозначим его через −σ_β, где σ_β — так называемый тензор напряжений. Плотность потока энергии есть вектор; плотность же потока импульса, который сам по себе есть вектор, должна, очевидно, быть тензором (компонента T_β этого тензора есть количество -й компоненты импульса, протекающее в единицу времени через единицу поверхности, перпендикулярную к оси x^β).

Выпишем еще раз таблицу, указывающую смысл различных компонент тензора энергии-импульса:

T^ik = .                (32.15)