Тензор энергии-импульса электромагнитного поля

Применим теперь полученные в предыдущем параграфе общие соотношения к электромагнитному полю. Для электромагнитного поля величина Λ, стоящая под знаком интеграла (32.1), равна, согласно (27.4),

Λ = − F_kl F^kl.

Величинами д являются компоненты 4-потенциала поля A_k, так что определение (32.5) тензора T_i^k принимает вид

T_i^k =   − δ_i^kΛ.

Для вычисления стоящей здесь производной от Λ напишем вариацию:

δΛ =  F^kl δ F_kl   =  F^kl δ − .

Переставляя индексы и имея в виду антисимметричность получим

δΛ = −  F^kl δ .

Отсюда мы видим, что

= −  F^kl,

и поэтому

T_i^k = −   F^kl +  δ_i^k F_lm F^lm,

или для контравариантных компонент

T^ik = −   F^k_l +  g^ik F_lm F^lm.

Этот тензор, однако, не симметричен. Для его симметризации прибавим к нему величину

  F^k_l.

Согласно уравнению поля (30.2) в отсутствие зарядов ∂F^k_l/∂x_l=0, а потому

  F^k_l =  (Aⁱ F^k_l),

так что производимая замена T^ik относится к виду (32.7) и является допустимой. Поскольку ∂A^l/∂x_i−∂Aⁱ/∂x_l=F^il то мы находим окончательно следующее выражение для тензора энергии-импульса электромагнитного поля:

T^ik = (−F^il F^k_l +  g^ik F_lm F^lm).                (33.1)

Симметричность этого тензора очевидна. Кроме того, его след равен нулю:

T_iⁱ = 0.                                              (33.2)