Тензор энергии-импульса электромагнитного поля

Выразим компоненты тензора T^ik через напряженности электрического и магнитного полей. С помощью значении из (23.5) легко убедиться в том, что T⁰⁰ совпадает, как и следовало, с плотностью энергии (31.5), а компоненты cT^0α — с компонентами вектора Пойнтинга (31.2). Пространственные же компоненты T^αβ образуют трехмерный тензор с составляющими

−σ_xx = ( _{+  −  +  +  − ),}

−σ_xy = −  (E_xE_y + H_xH_y)

и т. д., или

σ_αβ = {E_αE_β + H_αH_β − δ_αβ(E² + E²)}.                  (33.3)

Этот трехмерный тензор называют максвелловским тензором напряжений.

Для приведения тензора T^ik к диагональному виду надо произвести преобразование к системе отсчета, в которой векторы E и H (в данной точке пространства и в данный момент времени) параллельны друг другу, либо один из них равен нулю; как мы знаем, такое преобразование возможно всегда, за исключением случая, когда E и H взаимно перпендикулярны и равны по величине. Легко видеть, что после преобразования единственными отличными от нуля компонентами T^ik будут

T⁰⁰ = −T¹¹ = T²² = T³³ = W

(ось x выбрана в направлении полей).

Если же векторы E и H взаимно перпендикулярны и равны по величине, то тензор T^ik не может быть приведен к диагональному виду. Отличные от нуля его компоненты в этом случае равны

T⁰⁰ = T³³ = T³⁰ = W

(ось х выбрана вдоль направления E , а ось y — вдоль H).

До сих пор мы рассматривали поле без зарядов. При наличии заряженных частиц тензор энергии-импульса всей системы представляет собой сумму тензоров энергии-импульса электромагнитного поля и частиц, причем в последнем частицы рассматриваются как невзаимодействующие.

Для определения вида тензора энергии-импульса частиц необходимо описывать распределение масс в пространстве с помощью «плотности массы», аналогично тому, как мы описываем распределение точечных зарядов с помощью их плотности. Аналогично формуле (28.1) для плотности зарядов, плотность масс можно написать в виде

μ =  m_aδ(r − r_a),                            (33.4)

где r_a — радиус-векторы частиц, а суммирование производится по всем частицам системы.

Плотность импульса частиц напишется в виде μcu^α. Как мы знаем, эта плотность представляет собой компоненты T^0α/c тензора энергии-импульса, т.е.

T^0α = μc²u^α (α = 1,2,3).

Но плотность массы является временной компонентой 4-вектора (аналогично плотности зарядов). Поэтому тензор энергии-импульса системы невзаимодействующих частиц есть

T^ik = μc = μcuⁱu^k .                 (33.5)

Этот тензор, как и следовало, симметричен.