Тензор энергии-импульса электромагнитного поля

Убедимся прямым вычислением в том, что энергия и импульс системы, определенные как суммы энергий и импульсов поля и частиц, действительно сохраняются. Другими словами, мы должны проверить уравнение

(T^(п)_i^k + T^(ч)_i^k) = 0,                             (33.6)

выражающее эти законы сохранения.

Дифференцируя выражение (33.1), пишем

=   F^lm  − F^kl − F_il .

Подставив сюда, согласно уравнениям Максвелла (26.5) и (30.2),

= −  − ,  = j^l,

получим

=  − F^lm  −  F^lm  − F^kl − F_il j^l.

Перестановкой индексов легко показать, что первые три члена взаимно сокращаются и остается

= −  F_il j^l.                                     (33.7)

Дифференцирование же тензора (33.5) дает

= cu_i  μ + μc  .

Первый член в этом выражении обращается в нуль в силу сохранения массы невзаимодействующих частиц. Действительно, величины μ составляют 4-вектор «тока масс», аналогичный 4-вектору тока зарядов (28.2); сохранение же масс выражается равенством нулю 4-дивергенции этого 4-вектора:

μ = 0,                                (33.8)

точно так же, как сохранение заряда выражается уравнением (29.4). Таким образом, имеем

= μc   = μc .

Для дальнейшего преобразования воспользуемся уравнением движения зарядов в поле, написанным в четырехмерном виде (23.4):

mc  =  F_ik u^k.

При переходе к непрерывному распределению заряда и массы имеем, по определению плотностей μ и ρ: μ/m=ρ/e. Поэтому можно написать уравнение движения в виде

μc  =  F_ik u^k,

или

μc  =  F_ik ρu^k = F_ik j^k.

Таким образом,

=  F_ik j^k.              (33.9)

Складывая с (33.7), мы действительно получаем нуль, т.е. приходим к уравнению (33.6).