Страница 3 из 3
Убедимся прямым вычислением в том, что энергия и импульс системы, определенные как суммы энергий и импульсов поля и частиц, действительно сохраняются. Другими словами, мы должны проверить уравнение
(T(п)ik + T(ч)ik) = 0, (33.6)
выражающее эти законы сохранения.
Дифференцируя выражение (33.1), пишем
= Flm − Fkl − Fil .
Подставив сюда, согласно уравнениям Максвелла (26.5) и (30.2),
= − − , = jl,
получим
= − Flm − Flm − Fkl − Fil jl.
Перестановкой индексов легко показать, что первые три члена взаимно сокращаются и остается
= − Fil jl. (33.7)
Дифференцирование же тензора (33.5) дает
= cui μ + μc .
Первый член в этом выражении обращается в нуль в силу сохранения массы невзаимодействующих частиц. Действительно, величины μ составляют 4-вектор «тока масс», аналогичный 4-вектору тока зарядов (28.2); сохранение же масс выражается равенством нулю 4-дивергенции этого 4-вектора:
μ = 0, (33.8)
точно так же, как сохранение заряда выражается уравнением (29.4). Таким образом, имеем
= μc = μc .
Для дальнейшего преобразования воспользуемся уравнением движения зарядов в поле, написанным в четырехмерном виде (23.4):
mc = Fik uk.
При переходе к непрерывному распределению заряда и массы имеем, по определению плотностей μ и ρ: μ/m=ρ/e. Поэтому можно написать уравнение движения в виде
μc = Fik uk,
или
μc = Fik ρuk = Fik jk.
Таким образом,
= Fik jk. (33.9)
Складывая с (33.7), мы действительно получаем нуль, т.е. приходим к уравнению (33.6).