Тензор энергии-импульса макроскопических тел

Наряду с тензором энергии-импульса системы точечных частиц (33.5) нам понадобится в дальнейшем выражение этого тензора для макроскопических тел, рассматриваемых как сплошные.

Поток импульса через элемент поверхности тела есть не что иное, как действующая на этот элемент сила. Поэтому −σ_αβdf_β есть α-я компонента силы, действующей на элемент поверхности df. Воспользуемся теперь системой отсчета, в которой данный элемент объема тела покоится. В такой системе отсчета имеет место закон Паскаля, т.е. давление p, оказываемое данным участком тела, одинаково по всем направлениям и везде перпендикулярно к площадке, на которую оно производится. Поэтому мы можем написать σ_αβdf_β=−pdf_α, откуда тензор напряжений σ_αβ=−pδ_αβ. Что касается компонент T^α0, дающих плотность импульса, то для данного элемента объема тела в рассматриваемой системе отсчета они равны нулю. Компонента же Т⁰⁰, как всегда, равна плотности энергии тела, которую мы обозначим здесь через ε; ε/с² есть при этом плотность массы, т. е. масса единицы объема. Подчеркнем, что речь идет здесь о единице собственного объема, т. е. объема в той системе отсчета, в которой данный участок тела покоится.

Таким образом, в рассматриваемой системе отсчета тензор энергии-импульса (для данного участка тела) имеет вид

T^ik = .                          (35.1)

Легко найти теперь выражение для тензора энергии-импульса в любой системе отсчета. Для этого введем 4-скорость uⁱ макроскопического движения элемента объема тела. В системе покоя этого элемента uⁱ=(1,0). Выражение для T^ik должно быть выбрано так, чтобы в этой системе он приобретал вид (35.1). Легко проверить, что таковым является

T^ik = (p + ε)uⁱu^k − pg^ik,                           (35.2)

или для смешанных компонент

T_i^k = (p + ε)u_iu^k − pδ_i^k.