Тензор кривизны

Вернемся снова к понятию о параллельном переносе вектора. Как было указано ранее, в общем случае кривого 4-пространства бесконечно малый параллельный перенос вектора определяется как перенос, при котором компоненты вектора не меняются в системе координат, галилеевой в данном бесконечно малом элементе объема.

Подробнее: Тензор кривизны

Свойства тензора кривизны

Тензор кривизны обладает свойствами симметрии, для полного выявления которых следует перейти от смешанных компонент Rⁱ_klm к ковариантным:

R_iklm = g_inRⁿ_klm.

Подробнее: Свойства тензора кривизны

Действие для гравитационного поля

Для нахождения уравнений, определяющих гравитационное поле, необходимо предварительно определить действие S_g этого поля. Искомые уравнения получаются тогда путем варьирования суммы действий поля и материальных частиц.

Подробнее: Действие для гравитационного поля

Тензор энергии-импульса

Было получено общее правило для вычисления тензора энергии-импульса любой физической системы, действие которой представлено в виде интеграла (32.1) по 4-пространству. В криволинейных координатах этот интеграл должен быть написан в виде

S =  ΛdΩ                  (94.1)

(в галилеевых координатах g=−1 и S переходит в   ΛdVdt). Интегрирование производится по всему (трехмерному) пространству и по времени между двумя заданными моментами, т. е. по бесконечной области 4-пространства, заключенной между двумя гиперповерхностями.

Подробнее: Тензор энергии-импульса

Уравнения Эйнштейна

Мы можем теперь перейти к выводу уравнений гравитационного поля. Эти уравнения получаются из принципа наименьшего действия δ(S_m+S_g)=0, где S_m и S_g — действия соответственно для гравитационного поля и материи. Варьированию подвергается теперь гравитационное поле, т.е. величины g_ik.

Подробнее: Уравнения Эйнштейна

Псевдотензор энергии-импульса гравитационного поля

При отсутствии гравитационного поля закон сохранения энергии и импульса материи (вместе с электромагнитным полем) выражается уравнением

= 0.

Подробнее: Псевдотензор энергии-импульса гравитационного поля

Синхронная система отсчета

Условие, допускающее синхронизацию хода часов в различных точках пространства, заключается в равенстве нулю компонент g_0α метрического тензора. Если, кроме того, g₀₀=1, то временная координата x⁰=t представляет собой собственное время в каждой точке пространства. Систему отсчета, удовлетворяющую условиям

g₀₀ = 1, g_0α = 0,                              (97.1)

назовем синхронной.

Подробнее: Синхронная система отсчета

Тетрадное представление уравнений Эйнштейна

Определение компонент тензора Риччи (и тем самым составление уравнений Эйнштейна) для метрики того или иного специального вида связано, вообще говоря, с довольно громоздкими вычислениями. Поэтому приобретают значение различные формулы, позволяющие в некоторых случаях упростить эти вычисления и представить результат в более обозримом виде. К числу таких формул относится выражение тензора кривизны в так называемом тетрадном виде.

Подробнее: Тетрадное представление уравнений Эйнштейна