Свойства тензора кривизны

I. Имеются три независимых собственных вектора. При этом их квадраты n_αn^α отличны от нуля и соответствующим поворотом тензор D_αβ, а с ним и А_αβ, В_αβ приводятся к диагональному виду

А_αβ = ,   

B_αβ = .            (92.19)

В этом случае тензор кривизны имеет 4 независимых инварианта.

Комплексные инварианты λ⁽¹⁾, λ⁽²⁾ выражаются алгебраически через комплексные скаляры:

I₁ = (R_iklmR^iklm − iR_iklmṘ^iklm),

I₂ = (R_iklmR^lmprR_pr^ik + iR_iklmR^lmprṘ_pr^ik).        (92.20)

где точка над буквой означает дуальный тензор:

Ṙ_iklm = E_ikprR^pr_lm.

Вычислив I₁, I₂ с помощью (92.19), получим

I₁ = (λ⁽¹⁾² + λ⁽²⁾² + λ⁽¹⁾λ⁽²⁾),  I₂ =  λ⁽¹⁾λ⁽²⁾(λ⁽¹⁾ + λ⁽²⁾).   (92.21)

Эти формулы позволяют вычислить λ⁽¹⁾, λ⁽²⁾, исходя из значений R_iklm в любой системе отсчета.

II. Имеются два независимых собственных вектора. Квадрат одного из них при этом равен нулю, в связи с чем он не может быть принят за направление координатной оси. Можно, однако, принять его лежащим в плоскости x¹x²; тогда n₂=in₁, n₃=0. Соответствующие уравнения (92.18) дают

D₁₁ + iD₁₂ = λ,  D₂₂ − iD₁₂ = λ,

откуда

D₁₁ = λ − iμ,  D₂₂ = λ + iμ,  D₁₂ = μ.

Комплексная величина λ=λ'+iλ" является скаляром и не может быть изменена. Величине же μ путем различных комплексных поворотов может быть придано любое (отличное от нуля) значение; можно поэтому без ограничения общности считать ее вещественной. В результате получим следующий канонический тип вещественных тензоров А_αβ, B_αβ:

А_αβ =

B_αβ = .            (92.22)

В этом случае имеется всего два инварианта λ' и λ". При этом согласно (92.21) I₁=λ², I₂=λ³, так что I₁³=I₂².

III. Имеется всего один собственный вектор с равным нулю квадратом. Все собственные значения λ при этом одинаковы, а потому равны нулю. Решения уравнения (92.18) могут быть приведены к виду D₁₁=D₂₂=D₁₂=0, D₁₃=μ, D₂₃=iμ, так что

А_αβ = ,  B_αβ = .    (92.23)

В этом случае тензор кривизны вовсе не имеет инвариантов, и мы имеем дело со своеобразной ситуацией: 4-пространство искривлено, но не существует инвариантов, которые могли бы являться мерой его кривизны.