Действие для гравитационного поля

Опуская полные производные, находим

G = (g^ik) − (g^ik) − ( − )g^ik.

С помощью формул (86.5)-(86.8) находим, что первые два члена справа равны  помноженному на

2g^mk − g^kl − g^ik = g^ik(2 − − ) = 2g^ik( − ).

Окончательно имеем

G = g^ik( − ).                      (93.3)

Величинами, определяющими гравитационное поле, являются компоненты метрического тензора. Поэтому в принципе наименьшего действия для гравитационного поля варьированию подлежат именно величины g_ik. Здесь необходимо, однако, сделать следующую существенную оговорку. Именно, мы не можем теперь утверждать, что в реально осуществляющемся поле интеграл действия имеет минимум (а не просто экстремум) по отношению ко всем возможным вариациям g_ik. Это связано с тем, что не всякое изменение g_ik соответствует изменению метрики пространства-времени, т.е. реальному изменению гравитационного поля. Компоненты g_ik меняются уже и при простом преобразовании координат, связанном лишь с переходом от одной системы к другой в одном и том же пространстве-времени. Каждое такое преобразование координат представляет собой, вообще говоря, совокупность четырех (по числу координат) независимых преобразований. Для того чтобы исключить такие не связанные с изменением метрики изменения g_ik, можно наложить на них четыре дополнительных условия и потребовать выполнения этих условий при варьировании. Таким образом, в применении к гравитационному полю принцип наименьшего действия утверждает лишь, что можно наложить на g_ik такие дополнительные условия, при соблюдении которых действие имеет минимум по отношению к варьированию g_ik.

Имея в виду эти замечания, покажем теперь, что гравитационная постоянная должна быть положительной. В качестве указанных четырех дополнительных условий потребуем обращения в нуль трех компонент g_0α и постоянства определителя |g_αβ|, составленного из компонент g_αβ:

g_0α = 0,  |g_αβ| = const;

в силу последнего из этих условий будем иметь

g^αβ = |g_αβ| =0.

Нас интересуют здесь те члены в подынтегральном выражении в действии, которые содержат производные от g_ik по x⁰. Простое вычисление с помощью (93.3) показывает, что такими членами в G являются

− g⁰⁰ g^αβ g^γδ .

Легко видеть, что эта величина существенно-отрицательна. Действительно, выбирая пространственную систему координат, которая была бы декартовой в данной точке пространства в данный момент времени (так что g_αβ=g^αβ=−δ_αβ), получим

− g⁰⁰ ,

и поскольку g⁰⁰=1/g₀₀ > 0, то знак этой величины очевиден.

Достаточно быстрым изменением компонент g_αβ со временем x⁰ (в промежутке между двумя пределами интегрирования по dx⁰) можно, следовательно, сделать величину −G сколь угодно большой. Если бы постоянная k была отрицательной, то действие при этом неограниченно уменьшалось бы (принимая сколь угодно большие по абсолютной величине отрицательные значения), т. е. не могло бы иметь минимума.