Тензор энергии-импульса

Было получено общее правило для вычисления тензора энергии-импульса любой физической системы, действие которой представлено в виде интеграла (32.1) по 4-пространству. В криволинейных координатах этот интеграл должен быть написан в виде

S =  ΛdΩ                  (94.1)

(в галилеевых координатах g=−1 и S переходит в   ΛdVdt). Интегрирование производится по всему (трехмерному) пространству и по времени между двумя заданными моментами, т. е. по бесконечной области 4-пространства, заключенной между двумя гиперповерхностями.

Как уже было указано ранее, тензор энергии-импульса, определенный по формуле (32.5), не является, вообще говоря, симметричным, каким он должен быть. Для того чтобы сделать его симметричным, необходимо было прибавить к выражению (32.5) надлежащим образом подобранный член вида ψ_ikl, причем ψ_ikl=−ψ_ilk.

Мы дадим теперь другой способ вычисления тензора энергии-импульса, обладающий тем преимуществом, что он сразу приводит к симметричному выражению.

Произведем в (94.1) преобразование от координат хⁱ к координатам х'ⁱ=хⁱ+ξⁱ где ξⁱ — малые величины. При этом преобразовании компоненты g^ik преобразуются, согласно формулам

g'^ik(x'^l) = g^lm(x^l)  = g^ml + + ≈ g^ik(x^l) + g^im + g^kl .

Тензор g'^ik является здесь функцией от x'^l, а тензор g^ik — функцией прежних координат x^l. Для того чтобы представить все члены в виде функций от одних и тех же переменных, разложим g'^ik(x^l+ξ^l) по степеням ξ^l. Далее, пренебрегая членами высшего порядка по ξ^l, мы можем в членах, содержащих ξ^l, написать g^ik вместо g'^ik. Таким образом, находим

g'^ik(x^l =g^ik(x^l) − ξ^l + g^il + g^kl .

Легко убедиться путем непосредственной проверки, что последние три члена справа могут быть написаны в виде суммы ξ^i;k+ξ^k;i контравариантных производных от ξⁱ. Таким образом, находим окончательно преобразование g^ik в виде

g'^ik = g^ik + δg^ik,  δg^ik = ξ^i;k + ξ^k;i.                 (94.2)

Для ковариантных компонент имеем при этом:

g'_ik = g_ik + δg_ik,  δg_ik = −ξ_{i;k −} ξ_k;i                (94.3)

(так, чтобы с точностью до величин первого порядка малости соблюдалось условие g'ilg'^kl=).

Поскольку действие S есть скаляр, то при преобразовании координат оно не меняется. С другой стороны, изменение δS действия при преобразовании координат можно написать в следующем виде. Пусть q обозначают величины, определяющие ту физическую систему, к которой относится действие S. При преобразовании координат величины q меняются δq При вычислении δS можно, однако, не писать членов, связанных с изменениями q. Все эти члены все равно взаимно сокращаются в силу «уравнений движения» физической системы, поскольку эти уравнения как раз и получаются путем приравнивания нулю вариации S по величинам q. Поэтому достаточно писать только члены, связанные с изменением g_ik. Воспользовавшись, как обычно, теоремой Гаусса и полагая на границах интегрирования δg^ik=0, находим δS в виде

δS =   δg^ik +  δ dΩ =   −   δg^ik dΩ

Введем теперь обозначение

  T_ik =  −  ;                                       (94.4)

тогда δS примет вид

δS =  Т_ikδg^ik dΩ = − Т^ikδg_ik dΩ             (94.5)

(замечаем, что g^ikδg_ik=−g_lkδg^ik и потому Т^ikδg_ik=−Т_ikδg^ik). Подставляя сюда для δg^ik выражение (94.2), имеем, воспользовавшись симметрией тензора Т_ik:

δS =  Т_ik (ξ^i;k + ξ^k;i) dΩ = Т_ik ξ^i;k dΩ.