Страница 2 из 2
Далее преобразуем это выражение следующим образом:
δS = (ξi);k dΩ − ξi dΩ. (94.6)
Первый интеграл с помощью (86.9) может быть написан в виде
(ξi) dΩ
и преобразован в интеграл по гиперповерхности. Поскольку на границах интегрирования ξi обращаются в нуль, то этот интеграл исчезает. Таким образом, приравнивая δS нулю, находим
δS = − ξi dΩ = 0.
Ввиду произвольности ξi отсюда следует, что
= 0. (94.7)
Сравнивая это уравнение с уравнением (32.4) ∂Tik/∂xk=0, имевшим место в галилеевых координатах, мы видим, что тензор Tik определяемый формулой (94.4), должен быть отождествлен с тензором энергии-импульса, — по крайней мере с точностью до постоянного множителя. Что этот множитель равен единице, легко проверить, производя, например, вычисление по формуле (94.4) для случая электромагнитного поля, когда
Λ = − FikFik = − FikFlmgilgkm.
Таким образом, формула (94.4) дает возможность вычислить тензор энергии-импульса путем дифференцирования Λ по компонентам метрического тензора (и их производным). При этом тензор Tik получается сразу в явно симметричном виде. Формула (94.4) удобна для вычисления тензора энергии-импульса не только в случае наличия гравитационного поля, но и при его отсутствии, когда метрический тензор не имеет самостоятельного смысла и переход к криволинейным координатам производится формально как промежуточный этап при вычислении Tik.
Выражение (33.1) для тензора энергии-импульса электромагнитного поля должно быть написано в криволинейных координатах в виде
Tik = − FilFkl + FlmFlmgik. (94.8)
Для макроскопических же тел тензор энергии-импульса равен (ср. (35.2)):
Tik = (p + ε)uiuk − pgik. (94.9)
Отметим, что компонента T00 всегда положительна:
T00 ⩾ 0 (94.10)
(смешанная же компонента не имеет, вообще говоря, определенного знака).