Тензор энергии-импульса

Далее преобразуем это выражение следующим образом:

δS =  (ξⁱ)_;k dΩ − _ξⁱ dΩ.                 (94.6)

Первый интеграл с помощью (86.9) может быть написан в виде

(ξⁱ) dΩ

и преобразован в интеграл по гиперповерхности. Поскольку на границах интегрирования ξⁱ обращаются в нуль, то этот интеграл исчезает. Таким образом, приравнивая δS нулю, находим

δS = −  ξⁱ  dΩ = 0.

Ввиду произвольности ξⁱ отсюда следует, что

 = 0.                            (94.7)

Сравнивая это уравнение с уравнением (32.4) ∂T_ik/∂x^k=0, имевшим место в галилеевых координатах, мы видим, что тензор T_ik определяемый формулой (94.4), должен быть отождествлен с тензором энергии-импульса, — по крайней мере с точностью до постоянного множителя. Что этот множитель равен единице, легко проверить, производя, например, вычисление по формуле (94.4) для случая электромагнитного поля, когда

Λ = −  F_ikF^ik = −  F_ikF_lmg^ilg^km.

Таким образом, формула (94.4) дает возможность вычислить тензор энергии-импульса путем дифференцирования Λ по компонентам метрического тензора (и их производным). При этом тензор T_ik получается сразу в явно симметричном виде. Формула (94.4) удобна для вычисления тензора энергии-импульса не только в случае наличия гравитационного поля, но и при его отсутствии, когда метрический тензор не имеет самостоятельного смысла и переход к криволинейным координатам производится формально как промежуточный этап при вычислении T_ik.

Выражение (33.1) для тензора энергии-импульса электромагнитного поля должно быть написано в криволинейных координатах в виде

T_ik =  − F_ilF_k^l + F_lmF^lmg_ik.    (94.8)

Для макроскопических же тел тензор энергии-импульса равен (ср. (35.2)):

T_ik = (p + ε)u_iu_k − pg_ik.                     (94.9)

Отметим, что компонента T₀₀ всегда положительна:

T₀₀ ⩾ 0                                  (94.10)

(смешанная же компонента не имеет, вообще говоря, определенного знака).