19 | 05 | 2024

Уравнения Эйнштейна

Мы можем теперь перейти к выводу уравнений гравитационного поля. Эти уравнения получаются из принципа наименьшего действия δ(Sm+Sg)=0, где Sm и Sg — действия соответственно для гравитационного поля и материи. Варьированию подвергается теперь гравитационное поле, т.е. величины gik.

Вычислим вариацию δSg. Имеем

δ RdΩ = δ gikRikdΩ = (Rikδgik + Rikgikδ + gikδRik)dΩ.

Подставляя сюда, согласно (86.4),

δ = −  δg = − gikδgik

находим

δ RdΩ = Rik − gik R δgik dΩ + gikδRik dΩ.       (95.1)

Для вычисления δRik заметим, что хотя величины  и не составляют тензора, но их вариации δ образуют тензор. Действительно, Akdxl есть изменение вектора при параллельном переносе (см. (85.5)) из некоторой точки Р в бесконечно близкую к ней Р'. Поэтому δAkdxl есть разность двух векторов, получающихся соответственно при двух параллельных переносах (с неварьированными и варьированными ) из точки Р в одну и ту же точку Р'. Разность же двух векторов в одной и той же точке является вектором, а потому δ есть тензор.

Воспользуемся локально-геодезической системой координат. Тогда в данной точке все =0. С помощью выражения (92.7) для Rik имеем (помня, что первые производные от gik равны теперь нулю):

gikδRik = gik δ −  δ = gik δgil  δ = ,

где

ωl = gikδgilδ.

Поскольку ωl есть вектор, то мы можем написать полученное соотношение в произвольной системе координат в виде

gikδRik = ( ωl)

(заменяя ∂ωl/∂xl на  и пользуясь (86.9)). Следовательно, второй интеграл справа в (95.1) равен

gikδRik dΩ = dΩ

и по теореме Гаусса может быть преобразован в интеграл от ωl по гиперповерхности, охватывающей весь 4-объем. Поскольку на пределах интегрирования вариация поля равна нулю, то этот член исчезает. Таким образом, вариация δSg равна

δSg = −  Rik − gik R δgik dΩ.      (95.2)

Заметим, что если бы мы исходили из выражения

Sg = −  dΩ

для действия поля, то мы получили бы, как легко убедиться,

 δSg = −  δgikdΩ.

Сравнивая это с (95.2), находим следующее соотношение:

Rik gik R = .   (95.3)

Для вариации действия материи напишем, согласно (94.5),

δSm Tikδgik dΩ,   (95.4)

где Tik — тензор энергии-импульса материи (включая электромагнитное поле). Гравитационное взаимодействие играет роль только для тел с достаточно большой массой (благодаря малости гравитационной постоянной). Поэтому при исследовании гравитационного поля нам приходится обычно иметь дело с макроскопическими телами. Соответственно этому для Tik надо обычно писать выражение (94.9).

Таким образом, из принципа наименьшего действия δSm+δSg=0 находим

−  Rik  gik R − Tik δgik dΩ = 0,

откуда ввиду произвольности δgik

Rik  gik R = Tik ,      (95.5)

или в смешанных компонентах

  R = .      (95.6)

Это и есть искомые уравнения гравитационного поля — основные уравнения общей теории относительности. Их называют уравнениями Эйнштейна.