Страница 1 из 2
Мы можем теперь перейти к выводу уравнений гравитационного поля. Эти уравнения получаются из принципа наименьшего действия δ(Sm+Sg)=0, где Sm и Sg — действия соответственно для гравитационного поля и материи. Варьированию подвергается теперь гравитационное поле, т.е. величины gik.
Вычислим вариацию δSg. Имеем
δ
R
dΩ = δ
gikRik
dΩ =
(Rik
δgik + Rikgikδ
+ gik
δRik)dΩ.
Подставляя сюда, согласно (86.4),
δ
= −
δg = −
gikδgik,
находим
δ
R
dΩ = 
Rik −
gik R
δgik
dΩ +
gikδRik
dΩ. (95.1)
Для вычисления δRik заметим, что хотя величины
и не составляют тензора, но их вариации δ
образуют тензор. Действительно,
Akdxl есть изменение вектора при параллельном переносе (см. (85.5)) из некоторой точки Р в бесконечно близкую к ней Р'. Поэтому δ
Akdxl есть разность двух векторов, получающихся соответственно при двух параллельных переносах (с неварьированными и варьированными
) из точки Р в одну и ту же точку Р'. Разность же двух векторов в одной и той же точке является вектором, а потому δ
есть тензор.
Воспользуемся локально-геодезической системой координат. Тогда в данной точке все
=0. С помощью выражения (92.7) для Rik имеем (помня, что первые производные от gik равны теперь нулю):
gikδRik = gik 
δ
−
δ
= gik
δ
− gil
δ
=
,
где
ωl = gikδ
− gilδ
.
Поскольку ωl есть вектор, то мы можем написать полученное соотношение в произвольной системе координат в виде
gikδRik =
(
ωl)
(заменяя ∂ωl/∂xl на
и пользуясь (86.9)). Следовательно, второй интеграл справа в (95.1) равен
gikδRik
dΩ = 
dΩ
и по теореме Гаусса может быть преобразован в интеграл от ωl по гиперповерхности, охватывающей весь 4-объем. Поскольку на пределах интегрирования вариация поля равна нулю, то этот член исчезает. Таким образом, вариация δSg равна
δSg = −

Rik −
gik R
δgik
dΩ. (95.2)
Заметим, что если бы мы исходили из выражения
Sg = −
G
dΩ
для действия поля, то мы получили бы, как легко убедиться,
δSg = −


−

δgikdΩ.
Сравнивая это с (95.2), находим следующее соотношение:
Rik −
gik R =

−

. (95.3)
Для вариации действия материи напишем, согласно (94.5),
δSm =
Tikδgik
dΩ, (95.4)
где Tik — тензор энергии-импульса материи (включая электромагнитное поле). Гравитационное взаимодействие играет роль только для тел с достаточно большой массой (благодаря малости гравитационной постоянной). Поэтому при исследовании гравитационного поля нам приходится обычно иметь дело с макроскопическими телами. Соответственно этому для Tik надо обычно писать выражение (94.9).
Таким образом, из принципа наименьшего действия δSm+δSg=0 находим
−

Rik −
gik R −
Tik
δgik
dΩ = 0,
откуда ввиду произвольности δgik
Rik −
gik R =
Tik , (95.5)
или в смешанных компонентах
−
R = 
. (95.6)
Это и есть искомые уравнения гравитационного поля — основные уравнения общей теории относительности. Их называют уравнениями Эйнштейна.