Уравнения Эйнштейна

Мы можем теперь перейти к выводу уравнений гравитационного поля. Эти уравнения получаются из принципа наименьшего действия δ(S_m+S_g)=0, где S_m и S_g — действия соответственно для гравитационного поля и материи. Варьированию подвергается теперь гравитационное поле, т.е. величины g_ik.

Вычислим вариацию δS_g. Имеем

δ RdΩ = δ g^ikR_ikdΩ = (R_ikδg^ik + R_ikg^ikδ + g^ikδR_ik)dΩ.

Подставляя сюда, согласно (86.4),

δ = −  δg = − g_ikδg^ik, 

находим

δ RdΩ = R_ik − g_ik R δg^ik dΩ + g^ikδR_ik dΩ.       (95.1)

Для вычисления δR_ik заметим, что хотя величины  и не составляют тензора, но их вариации δ образуют тензор. Действительно, A_kdx^l есть изменение вектора при параллельном переносе (см. (85.5)) из некоторой точки Р в бесконечно близкую к ней Р'. Поэтому δA_kdx^l есть разность двух векторов, получающихся соответственно при двух параллельных переносах (с неварьированными и варьированными ) из точки Р в одну и ту же точку Р'. Разность же двух векторов в одной и той же точке является вектором, а потому δ есть тензор.

Воспользуемся локально-геодезической системой координат. Тогда в данной точке все =0. С помощью выражения (92.7) для R_ik имеем (помня, что первые производные от g^ik равны теперь нулю):

g^ikδR_ik = g^ik δ −  δ = g^ik δ − g^il  δ = ,

где

ω^l = g^ikδ − g^ilδ.

Поскольку ω^l есть вектор, то мы можем написать полученное соотношение в произвольной системе координат в виде

g^ikδR_ik = ( ω^l)

(заменяя ∂ω^l/∂x^l на  и пользуясь (86.9)). Следовательно, второй интеграл справа в (95.1) равен

g^ikδR_ik dΩ = dΩ

и по теореме Гаусса может быть преобразован в интеграл от ω^l по гиперповерхности, охватывающей весь 4-объем. Поскольку на пределах интегрирования вариация поля равна нулю, то этот член исчезает. Таким образом, вариация δS_g равна

δS_g = −  R_ik − g_ik R δg^ik dΩ.      (95.2)

Заметим, что если бы мы исходили из выражения

S_g = −  G dΩ

для действия поля, то мы получили бы, как легко убедиться,

 δS_g = −  − δg^ikdΩ.

Сравнивая это с (95.2), находим следующее соотношение:

R_ik − g_ik R = − .   (95.3)

Для вариации действия материи напишем, согласно (94.5),

δS_m =  T_ikδg^ik dΩ,   (95.4)

где T_ik — тензор энергии-импульса материи (включая электромагнитное поле). Гравитационное взаимодействие играет роль только для тел с достаточно большой массой (благодаря малости гравитационной постоянной). Поэтому при исследовании гравитационного поля нам приходится обычно иметь дело с макроскопическими телами. Соответственно этому для T_ik надо обычно писать выражение (94.9).

Таким образом, из принципа наименьшего действия δS_m+δS_g=0 находим

−  R_ik − g_ik R − T_ik δg^ik dΩ = 0,

откуда ввиду произвольности δg^ik

R_ik − g_ik R = T_ik ,      (95.5)

или в смешанных компонентах

−   R = .      (95.6)

Это и есть искомые уравнения гравитационного поля — основные уравнения общей теории относительности. Их называют уравнениями Эйнштейна.