26 | 02 | 2024

Уравнения Эйнштейна

Упрощая (95.6) по индексам i и k, находим

R = −  T                      (95.7)

(Т=). Поэтому уравнения поля можно написать также в виде

Rik = Tik  gik T.   (95.8)

Уравнения Эйнштейна нелинейны. Поэтому для гравитационных полей несправедлив принцип суперпозиции. Этот принцип справедлив лишь приближенно для слабых полей, допускающих линеаризацию уравнений Эйнштейна.

В пустом пространстве Tik=0 и уравнения гравитационного поля сводятся к уравнениям

Rik = 0.                           (95.9)

Напомним, что это отнюдь не значит, что пустое пространство-время является плоским, — для этого требовалось бы выполнение более сильных условий Riklm=0.

Тензор энергии-импульса электромагнитного поля обладает тем свойством, что =0 (см. (33.2)). Ввиду (95.7) отсюда следует, что при наличии одного только электромагнитного поля без каких-либо масс скалярная кривизна пространства-времени равна нулю.

Как мы знаем, дивергенция тензора энергии-импульса равна нулю:

 = 0.                       (95.10)

Поэтому должна быть равна нулю также и дивергенция левой части уравнения (95.6). Это действительно так в силу тождества (92.10).

Таким образом, уравнения (95.10) по существу содержатся в уравнениях поля (95.6). С другой стороны, уравнения (95.10), выражая собой законы сохранения энергии и импульса, содержат в себе уравнения движения той физической системы, к которой относится рассматриваемый тензор энергии-импульса (т. е. уравнения движения материальных частиц или вторую пару уравнений Максвелла).

Таким образом, уравнения гравитационного поля содержат в себе также и уравнения для самой материи, которая создает это поле. Поэтому распределение и движение материи, создающей гравитационное поле, отнюдь не могут быть заданы произвольным образом. Напротив, они должны быть определены (посредством решения уравнений поля при заданных начальных условиях) одновременно с самим создаваемым этой материей полем.

Обратим внимание на принципиальное отличие этой ситуации от того, что мы имели в случае электромагнитного поля. Уравнения этого поля (уравнения Максвелла) содержат в себе только уравнение сохранения полного заряда (уравнение непрерывности), но не уравнения движения самих зарядов. Поэтому распределение и движение зарядов могут быть заданы произвольным образом, лишь бы полный заряд был постоянным. Заданием этого распределения зарядов посредством уравнений Максвелла определяется создаваемое ими электромагнитное поле.

Надо, однако, уточнить, что для полного определения распределения и движения материи в случае гравитационного поля к уравнениям Эйнштейна надо присоединить еще (не содержащееся, конечно, в них) уравнение состояния вещества, т. е. уравнение, связывающее между собой давление и плотность. Это уравнение должно быть задано наряду с уравнениями поля.

Четыре координаты xi могут быть подвергнуты произвольному преобразованию. Посредством этого преобразования можно произвольным образом выбрать четыре из десяти компонент тензора gik. Поэтому независимыми неизвестными функциями являются только шесть из величин gik. Далее, четыре компоненты входящей в тензор энергии-импульса материи 4-скорости ui связаны друг с другом соотношением uiui=1, так что независимыми являются только три из них. Таким образом, мы имеем, как и следовало, десять уравнений поля (95.5) для десяти неизвестных величин: шести из компонент gik, трех из компонент ui и плотности материи ε/c2 (или ее давления p). Для гравитационного поля в пустоте остается всего шесть неизвестных величин (компонент gik) и соответственно понижается число независимых уравнений поля: десять уравнений Rik=0 связаны четырьмя тождествами (92.10).

Отметим некоторые особенности структуры уравнений Эйнштейна. Они представляют собой систему дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. Однако в уравнения входят вторые производные по времени не от всех 10 компонент gik. Действительно, из (92.1) видно, что вторые производные по времени содержатся только в компонентах R0α0β тензора кривизны, куда они входят в виде члена −αβ/2 (точкой обозначаем дифференцирование по x0); вторые же производные от компонент g0α и g00 метрического тензора вообще отсутствуют. Ясно поэтому, что и получающийся путем упрощения из тензора кривизны тензор Rik, а с ним и уравнения (95.5) тоже содержат вторые производные по времени лишь от шести пространственных компонент gαβ.

Легко также видеть, что эти производные входят лишь в -уравнения (95.6), т.е. в уравнения

 − R = .       (95.11)

Уравнения же и , т.e. уравнения

R = ,   = (95.12)

содержат производные по времени лишь первого порядка. В этом можно убедиться, проверив, что при образовании путем свертывания Riklm величин  и  R=() компоненты вида R0α0β действительно выпадают. Еще проще увидеть это из тождества (92.10) записав его в виде

R;0 = − R;0        (95.13)

(i=0,1,2,3). Старшие производные по времени, входящие в правую часть этого равенства, — вторые производные (фигурирующие в самих величинах , R). Поскольку (95.13)— тождество, то и его левая часть должна, следовательно, содержать производные по времени не выше второго порядка. Но одно дифференцирование по времени фигурирует уже в нем явным образом; поэтому сами выражения −(R)/2 могут содержать производные по времени не выше первого порядка.

Более того, левые части уравнений (95.12) не содержат также и первых производных ġ0α и ġ00 (а лишь производные ġαβ). Действительно, из всех Гi,kl эти производные содержат только Гα,00 и Г0,00, а эти величины в свою очередь входят только в компоненты тензора кривизны вида R0α0β, которые, как мы уже знаем, выпадают при образовании левых частей уравнений (95.12).

Если интересоваться решением уравнений Эйнштейна при заданных начальных (по времени) условиях, то возникает вопрос о том, для скольких величин могут быть произвольно заданы начальные пространственные распределения.

Начальные условия для уравнений второго порядка должны включать начальные распределения как самих дифференцируемых величин, так и их первых производных по времени. Однако поскольку в данном случае уравнения содержат вторые производные лишь от шести gαß, то в начальных условиях не могут быть произвольно заданы все gik и ġik. Так, можно задать (наряду со скоростью и плотностью материи) начальные значения функций gαß и ġαß, после чего из 4 уравнений (95.12) определятся допустимые начальные значения g0α и g00; в уравнениях же (95.11) останутся еще произвольными начальные значения ġ0α и ġ00.

В число задаваемых таким образом начальных условий входят, однако, также и функции, произвольность которых связана просто с произволом в выборе 4-системы координат. Между тем реальным физическим смыслом обладает лишь число «физически различных» произвольных функций, которое уже не может быть уменьшено никаким выбором системы отсчета. Из физических соображений легко видеть, что это число равно 8: начальные условия должны задавать распределение плотности материи и трех компонент ее скорости, а также еще четырех величин, характеризующих свободное (не связанное с материей) гравитационное поле; для свободного гравитационного поля в пустоте начальными условиями должны задаваться лишь последние четыре величины.