Псевдотензор энергии-импульса гравитационного поля

При отсутствии гравитационного поля закон сохранения энергии и импульса материи (вместе с электромагнитным полем) выражается уравнением

= 0.

Обобщением этого уравнения на случай наличия гравитационного поля является уравнение (94.7)

=  −   T^kl = 0.           (96.1)

В таком виде, однако, это уравнение, вообще говоря, не выражает закона сохранения чего бы то ни было. Это обстоятельство связано с тем, что в гравитационном поле должен сохраняться не 4-импульс одной лишь материи, а 4-импульс материи вместе с гравитационным полем; последний же не учтен в выражении для .

Для определения сохраняющегося полного 4-импульса гравитационного поля вместе с находящейся в нем материей мы поступим следующим образом. Выберем систему координат так, чтобы в некоторой заданной точке пространства-времени все первые производные от g_ik по координатам обратились в нуль (сами же g_ik при этом не должны обязательно иметь галилеевы значения). Тогда в этой точке второй член в уравнении (96.1) обратится в нуль, а в первом можно вынести  из-под знака производной, так что остается

= 0.

или в контравариантных компонентах

T^ik = 0.

Величины T^ik, тождественно удовлетворяющие этому уравнению, могут быть написаны в виде

T^ik = η^ikl,

где η^ikl — величины, антисимметричные по индексам k, l:

η^ikl = −η^ikl.

Нетрудно фактически привести T^ik к такому виду. Для этого исходим из уравнений поля:

T^ik = R^ik −  g^ikR,

а для R^ik имеем согласно (92.1):

R^ik = g^img^kpg^ln + − −

(напоминаем, что в рассматриваемой точке все =0). После простых преобразований тензор T^ik может быть приведен к виду

T^ik = [(− g)(g^ikg^lm − g^ilg^km)].

Стоящее в фигурных скобках выражение антисимметрично по индексам k, l и есть то, что мы обозначили выше как η^ikl. Поскольку первые производные от g_ik в рассматриваемой точке равны нулю, то множитель 1/(−g) можно вынести из-под знака производной ∂/∂x^l. Введем обозначения

h^ikl =  λ^iklm,                                  (96.2)

λ^iklm =  (− g)(g^ikg^lm − g^ilg^km);    (96.3)

величины h^kil антисимметричны по индексам k, l:

h^ikl = −h^ikl.                                            (96.4)

Тогда можно написать

= (−g)T^ik.

Это соотношение, выведенное в предположении ∂g_ik/∂x^l=0, перестает иметь место при переходе к произвольной системе координат. В общем случае разность ∂h^ikl/∂x^l−(−g)T^ik отлична от нуля; обозначим ее через (—g)t^ik. Тогда будем иметь по определению:

(−g)(T^ik + t^ik) = .                         (96.5)

Величины t^ik симметричны по индексам i, k:

t^ik = t^ki.                                                 (96.6)