13 | 06 | 2024

Псевдотензор энергии-импульса гравитационного поля

При отсутствии гравитационного поля закон сохранения энергии и импульса материи (вместе с электромагнитным полем) выражается уравнением

= 0.

Обобщением этого уравнения на случай наличия гравитационного поля является уравнение (94.7)

=  −   Tkl = 0.           (96.1)

В таком виде, однако, это уравнение, вообще говоря, не выражает закона сохранения чего бы то ни было. Это обстоятельство связано с тем, что в гравитационном поле должен сохраняться не 4-импульс одной лишь материи, а 4-импульс материи вместе с гравитационным полем; последний же не учтен в выражении для .

Для определения сохраняющегося полного 4-импульса гравитационного поля вместе с находящейся в нем материей мы поступим следующим образом. Выберем систему координат так, чтобы в некоторой заданной точке пространства-времени все первые производные от gik по координатам обратились в нуль (сами же gik при этом не должны обязательно иметь галилеевы значения). Тогда в этой точке второй член в уравнении (96.1) обратится в нуль, а в первом можно вынести  из-под знака производной, так что остается

= 0.

или в контравариантных компонентах

Tik = 0.

Величины Tik, тождественно удовлетворяющие этому уравнению, могут быть написаны в виде

Tik = ηikl,

где ηikl — величины, антисимметричные по индексам k, l:

ηikl = −ηikl.

Нетрудно фактически привести Tik к такому виду. Для этого исходим из уравнений поля:

Tik = Rik −  gikR,

а для Rik имеем согласно (92.1):

Rik = gimgkpgln +

(напоминаем, что в рассматриваемой точке все =0). После простых преобразований тензор Tik может быть приведен к виду

Tik = [(− g)(gikglmgilgkm)].

Стоящее в фигурных скобках выражение антисимметрично по индексам k, l и есть то, что мы обозначили выше как ηikl. Поскольку первые производные от gik в рассматриваемой точке равны нулю, то множитель 1/(−g) можно вынести из-под знака производной ∂/∂xl. Введем обозначения

hikl λiklm,                                  (96.2)

λiklm (− g)(gikglmgilgkm);    (96.3)

величины hkil антисимметричны по индексам k, l:

hikl = −hikl.                                            (96.4)

Тогда можно написать

= (−g)Tik.

Это соотношение, выведенное в предположении ∂gik/∂xl=0, перестает иметь место при переходе к произвольной системе координат. В общем случае разность ∂hikl/∂xl−(−g)Tik отлична от нуля; обозначим ее через (—g)tik. Тогда будем иметь по определению:

(g)(Tik + tik) = .                         (96.5)

Величины tik симметричны по индексам i, k:

tik = tki.                                                 (96.6)