Страница 2 из 3
Это видно непосредственно из их определения, поскольку как тензор Tik, так и производные ∂hikl/∂xl являются симметричными величинами. Выражая Tik через Rik согласно уравнениям Эйнштейна, получим соотношение
(−g)
Rik −
gikR
+ tik
=
, (96.7)
из которого можно найти после довольно длинного вычисления следующее выражение для tik:
tik =
{(2
− 
− 
)(gilgkm − gikglm) + gilgmn(
+ 
− 
− 
) + gklgmn(
+ 
− 
− 
) + glmgnp(
− 
)}, (96.8)
или, непосредственно через производные от компонент метрического тензора:
(−g)tik =
{gik,l glm,m − gil,l gkm,m +
gikglm gln,p gpm,n − (gilgmn gkn,p gmp,l + gklgmn gin,p gmp,l) + glmgnp gil,n gkm,p +
(2gilgkm − gikglm)(2gnpgqr − gpqgnr) gnr,l gpq,m}, (96.9)
где gik=
gik, а индекс «,i» означает простое дифференцирование по xi.
Существенным свойством величин tik является то, что они не составляют тензора; это видно уже из того, что в ∂hikl/∂xl стоят простые, а не ковариантные производные. Однако tik выражаются через величины
, а последние ведут себя как тензор по отношению к линейным преобразованиям координат; то же самое относится, следовательно, и к tik.
Из определения (96.5) следует, что для суммы Tik+tik тождественно выполняются уравнения
(−g)(Tik + tik) = 0. (96.10)
Это значит, что имеет место закон сохранения величин
Pi =
(−g)(Tik + tik) dSk. (96.11)
При отсутствии гравитационного поля в галилеевых координатах tik=0, и написанный интеграл переходит в
TikdSk, т. е. в 4-импульс материи. Поэтому величины (96.11) должны быть отождествлены с полным 4-импульсом материи вместе с гравитационным полем. Совокупность величин tik называют псевдотензором энергии-импульса гравитационного поля.
Интегрирование в (96.11) может производиться по любой бесконечной гиперповерхности, включающей в себя все трехмерное пространство. Если выбрать в качестве нее гиперповерхность x0=const, то Pi можно написать в виде трехмерного пространственного интеграла:
Pi =
(−g)(Ti0+ ti0) dV. (96.12)
Тот факт, что полный 4-импульс материи и поля выражается в виде интегралов от симметричных по индексам i, k величин (−g)(Tik + tik), весьма существен. Он означает, что сохраняется 4-момент импульса, определяемый как
Mik =
(xidPk − xkdPi) =
[xi(Tkl + tkl) − xk(Til + til)](−g) dSl. (96.13)
Таким образом, и в общей теории относительности у замкнутой системы гравитирующих тел сохраняется полный момент импульса и, кроме того, по-прежнему может быть дано определение центра инерции, совершающего равномерное движение. Последнее связано с сохранением компонент M0α, выражающимся уравнением
x0
(Тα0 + tα0)(−g) dV −
xα(Т00 + t00)(−g) dV = const,
так что координаты центра инерции даются формулой
Xα =
. (96.14)
Выбирая систему координат, инерциальную в данном элементе объема, можно обратить все tik в любой точке пространства-времени в нуль (так как при этом обращаются в нуль все
). С другой стороны, можно получить отличные от нуля tik в плоском пространстве, т. е. при отсутствии гравитационного поля, если просто воспользоваться криволинейными координатами вместо декартовых. Таким образом, во всяком случае не имеет смысла говорить об определенной локализации энергии гравитационного поля в пространстве. Если тензор Tik=0 в некоторой мировой точке, то это имеет место в любой системе отсчета, так что мы можем сказать, что в этой точке нет материи или электромагнитного поля. Напротив, из равенства нулю псевдотензора в некоторой точке в одной системе отсчета отнюдь не следует того же самого для другой системы отсчета, и поэтому не имеет смысла говорить о том, имеется ли или нет гравитационная энергия в данном месте. Это вполне соответствует тому, что подходящим выбором координат можно «уничтожить» гравитационное поле в данном элементе объема, причем, согласно сказанному выше, одновременно исчезает и псевдотензор tik в этом элементе.
Величины же Pi — 4-импульс поля и материи — имеют вполне определенный смысл, оказываясь не зависящими от выбора систем отсчета как раз в такой степени, как это необходимо на основании физических соображений.