Псевдотензор энергии-импульса гравитационного поля

Это видно непосредственно из их определения, поскольку как тензор T^ik, так и производные ∂h^ikl/∂x^l являются симметричными величинами. Выражая T^ik через R^ik согласно уравнениям Эйнштейна, получим соотношение

(−g) R^ik −  g^ikR + t^ik = ,    (96.7)

из которого можно найти после довольно длинного вычисления следующее выражение для t^ik:

t^ik = {(2 −  − )(g^ilg^km − g^ikg^lm) + g^ilg^mn( +  −  − ) + g^klg^mn( +  −  − ) + g^lmg^np( − )},           (96.8)

или, непосредственно через производные от компонент метрического тензора:

(−g)t^ik = {g^ik_,l g^lm_,m − g^il_,l g^km_,m +  g^ikg_lm g^ln_,p g^pm_,n − (g^ilg_mn g^kn_,p g^mp_,l + g^klg_mn gⁱⁿ_,p g^mp_,l) + g_lmg^np g^il_,n g^km_,p +  (2g^ilg^km − g^ikg^lm)(2g_npg_qr − g_pqg_nr) g^nr_,l g^pq_,m},     (96.9)

где g^ik=g^ik, а индекс «,i» означает простое дифференцирование по xⁱ.

Существенным свойством величин t^ik является то, что они не составляют тензора; это видно уже из того, что в ∂h^ikl/∂x^l стоят простые, а не ковариантные производные. Однако t^ik выражаются через величины , а последние ведут себя как тензор по отношению к линейным преобразованиям координат; то же самое относится, следовательно, и к t^ik.

Из определения (96.5) следует, что для суммы T^ik+t^ik тождественно выполняются уравнения

(−g)(T^ik + t^ik) = 0.                               (96.10)

Это значит, что имеет место закон сохранения величин

Pⁱ =  (−g)(T^ik + t^ik) dS_k.    (96.11)

При отсутствии гравитационного поля в галилеевых координатах t^ik=0, и написанный интеграл переходит в T^ikdS_k, т. е. в 4-импульс материи. Поэтому величины (96.11) должны быть отождествлены с полным 4-импульсом материи вместе с гравитационным полем. Совокупность величин t^ik называют псевдотензором энергии-импульса гравитационного поля.

Интегрирование в (96.11) может производиться по любой бесконечной гиперповерхности, включающей в себя все трехмерное пространство. Если выбрать в качестве нее гиперповерхность x⁰=const, то Pⁱ можно написать в виде трехмерного пространственного интеграла:

Pⁱ =  (−g)(Tⁱ⁰+ tⁱ⁰) dV.       (96.12)

Тот факт, что полный 4-импульс материи и поля выражается в виде интегралов от симметричных по индексам i, k величин (−g)(T^ik + t^ik), весьма существен. Он означает, что сохраняется 4-момент импульса, определяемый как

M^ik = (xⁱdP^k − x^kdPⁱ) = [xⁱ(T^kl + t^kl) − x^k(T^il + t^il)](−g) dS_l.     (96.13)

Таким образом, и в общей теории относительности у замкнутой системы гравитирующих тел сохраняется полный момент импульса и, кроме того, по-прежнему может быть дано определение центра инерции, совершающего равномерное движение. Последнее связано с сохранением компонент M^0α, выражающимся уравнением

x⁰(Т^α0 + t^α0)(−g) dV − x^α(Т⁰⁰ + t⁰⁰)(−g) dV = const,

так что координаты центра инерции даются формулой

X^α = .                          (96.14)

Выбирая систему координат, инерциальную в данном элементе объема, можно обратить все t^ik в любой точке пространства-времени в нуль (так как при этом обращаются в нуль все ). С другой стороны, можно получить отличные от нуля t^ik в плоском пространстве, т. е. при отсутствии гравитационного поля, если просто воспользоваться криволинейными координатами вместо декартовых. Таким образом, во всяком случае не имеет смысла говорить об определенной локализации энергии гравитационного поля в пространстве. Если тензор T_ik=0 в некоторой мировой точке, то это имеет место в любой системе отсчета, так что мы можем сказать, что в этой точке нет материи или электромагнитного поля. Напротив, из равенства нулю псевдотензора в некоторой точке в одной системе отсчета отнюдь не следует того же самого для другой системы отсчета, и поэтому не имеет смысла говорить о том, имеется ли или нет гравитационная энергия в данном месте. Это вполне соответствует тому, что подходящим выбором координат можно «уничтожить» гравитационное поле в данном элементе объема, причем, согласно сказанному выше, одновременно исчезает и псевдотензор t^ik в этом элементе.

Величины же Pⁱ — 4-импульс поля и материи — имеют вполне определенный смысл, оказываясь не зависящими от выбора систем отсчета как раз в такой степени, как это необходимо на основании физических соображений.