20 | 04 | 2024

Псевдотензор энергии-импульса гравитационного поля

Это видно непосредственно из их определения, поскольку как тензор Tik, так и производные ∂hikl/∂xl являются симметричными величинами. Выражая Tik через Rik согласно уравнениям Эйнштейна, получим соотношение

(−g) Rik −  gikR + tik = ,    (96.7)

из которого можно найти после довольно длинного вычисления следующее выражение для tik:

tik = {(2 −  − )(gilgkm − gikglm) + gilgmn( −  − ) + gklgmn( +  − ) + glmgnp()},           (96.8)

или, непосредственно через производные от компонент метрического тензора:

(−g)tik{gik,l glm,m − gil,l gkm,m gikglm gln,p gpm,n − (gilgmn gkn,p gmp,l + gklgmn gin,p gmp,l) + glmgnp gil,n gkm,p (2gilgkm − gikglm)(2gnpgqrgpqgnr) gnr,l gpq,m},     (96.9)

где gik=gik, а индекс «,i» означает простое дифференцирование по xi.

Существенным свойством величин tik является то, что они не составляют тензора; это видно уже из того, что в hikl/∂xl стоят простые, а не ковариантные производные. Однако tik выражаются через величины , а последние ведут себя как тензор по отношению к линейным преобразованиям координат; то же самое относится, следовательно, и к tik.

Из определения (96.5) следует, что для суммы Tik+tik тождественно выполняются уравнения

(−g)(Tik + tik) = 0.                               (96.10)

Это значит, что имеет место закон сохранения величин

Pi (−g)(Tik + tik) dSk.    (96.11)

При отсутствии гравитационного поля в галилеевых координатах tik=0, и написанный интеграл переходит в TikdSk, т. е. в 4-импульс материи. Поэтому величины (96.11) должны быть отождествлены с полным 4-импульсом материи вместе с гравитационным полем. Совокупность величин tik называют псевдотензором энергии-импульса гравитационного поля.

Интегрирование в (96.11) может производиться по любой бесконечной гиперповерхности, включающей в себя все трехмерное пространство. Если выбрать в качестве нее гиперповерхность x0=const, то Pi можно написать в виде трехмерного пространственного интеграла:

Pi (−g)(Ti0+ ti0) dV.       (96.12)

Тот факт, что полный 4-импульс материи и поля выражается в виде интегралов от симметричных по индексам i, k величин (−g)(Tik + tik), весьма существен. Он означает, что сохраняется 4-момент импульса, определяемый как

Mik = (xidPk − xkdPi) = [xi(Tkl + tkl) − xk(Til + til)](−g) dSl.     (96.13)

Таким образом, и в общей теории относительности у замкнутой системы гравитирующих тел сохраняется полный момент импульса и, кроме того, по-прежнему может быть дано определение центра инерции, совершающего равномерное движение. Последнее связано с сохранением компонент M0α, выражающимся уравнением

x0(Тα0 + tα0)(−g) dV − xα(Т00 + t00)(−g) dV = const,

так что координаты центра инерции даются формулой

Xα = .                          (96.14)

Выбирая систему координат, инерциальную в данном элементе объема, можно обратить все tik в любой точке пространства-времени в нуль (так как при этом обращаются в нуль все ). С другой стороны, можно получить отличные от нуля tik в плоском пространстве, т. е. при отсутствии гравитационного поля, если просто воспользоваться криволинейными координатами вместо декартовых. Таким образом, во всяком случае не имеет смысла говорить об определенной локализации энергии гравитационного поля в пространстве. Если тензор Tik=0 в некоторой мировой точке, то это имеет место в любой системе отсчета, так что мы можем сказать, что в этой точке нет материи или электромагнитного поля. Напротив, из равенства нулю псевдотензора в некоторой точке в одной системе отсчета отнюдь не следует того же самого для другой системы отсчета, и поэтому не имеет смысла говорить о том, имеется ли или нет гравитационная энергия в данном месте. Это вполне соответствует тому, что подходящим выбором координат можно «уничтожить» гравитационное поле в данном элементе объема, причем, согласно сказанному выше, одновременно исчезает и псевдотензор tik в этом элементе.

Величины же Pi — 4-импульс поля и материи — имеют вполне определенный смысл, оказываясь не зависящими от выбора систем отсчета как раз в такой степени, как это необходимо на основании физических соображений.