Синхронная система отсчета

Условие, допускающее синхронизацию хода часов в различных точках пространства, заключается в равенстве нулю компонент g_0α метрического тензора. Если, кроме того, g₀₀=1, то временная координата x⁰=t представляет собой собственное время в каждой точке пространства. Систему отсчета, удовлетворяющую условиям

g₀₀ = 1, g_0α = 0,                              (97.1)

назовем синхронной.

Элемент интервала в такой системе дается выражением

ds² = dt² − γ_αβdx^αdx^β,                     (97.2)

причем компоненты тензора пространственной метрики совпадают (с точностью до знака) с компонентами g_αβ:

γ_αβ = − g_αβ.                                      (97.3)

В синхронной системе отсчета линии времени являются геодезическими линиями в 4-пространстве. Действительно, 4-вектор uⁱ=dxⁱ/ds касательной к мировой линии x¹, x², x³ = const имеет составляющие u^α=0, u⁰=1 и автоматически удовлетворяет геодезическим уравнениям

 + u^ku^l =  = 0,

поскольку при условиях (97.1) символы Кристоффеля ,  равны нулю тождественно.

Легко также видеть, что эти линии нормальны к гиперповерхностям t=const. Действительно, 4-вектор нормали к такой гиперповерхности n_i=dt/dxⁱ имеет ковариантные составляющие n_α=0, n₀=1. Соответствующие контравариантные компоненты при условиях (97.1) тоже равны n^α=0, n⁰=1, т.е. совпадают с компонентами 4-вектора uⁱ касательных к линиям времени.

Обратно, этими свойствами можно воспользоваться для геометрического построения синхронной системы отсчета в любом пространстве-времени. Для этого выбираем в качестве исходной какую-либо пространственноподобную гиперповерхность, т.е. гиперповерхность, нормаль к которой в каждой ее точке имеет временное направление (лежит внутри светового конуса с вершиной в этой же точке); все элементы интервала на такой гиперповерхности пространственноподобны. Затем строим семейство нормальных к этой гиперповерхности геодезических линий. Если теперь выбрать эти линии в качестве координатных линий времени, причем определить временную координату t как длину s геодезической линии, отсчитываемую от исходной гиперповерхности, мы получим синхронную систему отсчета.

Ясно, что такое построение, а тем самым и выбор синхронной системы отсчета в принципе возможны всегда. Более того, этот выбор еще и не однозначен. Метрика вида (97.2) допускает любые преобразования пространственных координат, не затрагивающие времени, и, кроме того, преобразование, соответствующее произволу в выборе исходной гиперповерхности в указанном геометрическом построении.

Аналитически преобразование к синхронной системе отсчета можно в принципе произвести при помощи уравнения Гамильтона-Якоби. Основание этого способа состоит в том, что траектории частицы в гравитационном поле как раз и являются геодезическими линиями.

Уравнение Гамильтона-Якоби для частицы (массу которой положим равной единице) в гравитационном поле есть

g^ik = 1                                   (97.4)

(мы обозначили здесь действие буквой τ). Его полный интеграл имеет вид

τ = f(ξ^α,xⁱ) + А(ξ^α).                               (97.5)

где f — функция четырех координат xⁱ и трех параметров ξ^α; четвертую постоянную А рассматриваем как произвольную функцию трех ξ^α. При таком представлении τ уравнения траектории частицы можно получить приравниванием производных ∂τ/∂ξ^α нулю, т.е.

= − .                                       (97.6)

Для каждых заданных значений параметров ξ^α правые части уравнений (97.6) имеют определенные постоянные значения и определяемая этими уравнениями мировая линия является одной из возможных траекторий частицы. Выбрав постоянные вдоль траекторий величины ξ^α в качестве новых пространственных координат, а величину τ — в качестве новой временной координаты, мы и получим синхронную систему отсчета, причем уравнениями (97.5), (97.6) определится искомое преобразование от старых координат к новым. Действительно, геодезичность линий времени при таком преобразовании обеспечивается автоматически, причем эти линии будут нормальны к гиперповерхностям τ=const. Последнее очевидно из механической аналогии: 4-вектор нормали к гиперповерхности −∂τ/∂xⁱ совпадает в механике с 4-импульсом частицы и потому совпадает по направлению с ее 4-скоростью uⁱ, т.е. с 4-вектором касательной к траектории. Наконец, выполнение условия g₀₀=1 очевидно из того, что производная −dτ/ds действия вдоль траектории есть масса частицы, которую мы приняли равной 1; поэтому |dτ/ds|=1.