20 | 04 | 2024

Синхронная система отсчета

Напишем уравнения Эйнштейна в синхронной системе отсчета, отделив в них операции пространственных и временного дифференцирований.

Введем обозначение

ϰαβ                                        (97.7)

для производных по времени от трехмерного метрического тензора; эти величины сами составляют трехмерный тензор. Все операции перемещения индексов у трехмерного тензора ϰαβ и его ковариантные дифференцирования производятся в дальнейшем в трехмерном пространстве с метрикой γαβ. Отметим, что сумма  есть логарифмическая производная определителя γ≡|γαβ|=−g:

γαβ  ln γ.                    (97.8)

Для символов Кристоффеля находим выражения

 =  = 0,   = ϰαβ,   ,   (97.9)

где  — трехмерные символы Кристоффеля, образованные из тензора γαβ. Вычисление по формуле (92.7) приводит к следующим выражениям для компонент Rik.

R00 = −   −   R0α = (),  Rαß = Pαß + ϰαβ(ϰαβ − 2 ϰβγ).   (97.10)

Здесь Pαß — трехмерный тензор Риччи, построенный из γαβ так же, как Rik строится из gik; поднятие его индексов производится ниже тоже с помощью трехмерной метрики γαβ.

Уравнения Эйнштейна напишем в смешанных компонентах:

 =    −   = 8πk T,         (97.11)

= () = 8πk ,                                (97.12)

 = −  ( ) = 8πk  − T.   (97.13)

Характерным свойством синхронных систем отсчета является их нестационарность: в такой системе гравитационное поле не может быть постоянным. Действительно, в постоянном поле было бы ϰαβ=0. Между тем при наличии материи обращение всех xaß в нуль во всяком случае противоречило бы уравнению (97.11) (с отличной от нуля правой частью). В пустом же пространстве мы нашли бы из (97.13), что все Pαß, а тем самым и все компоненты трехмерного тензора кривизны Pαßγδ обращаются в нуль, т. е. поле вообще отсутствует (в синхронной системе при евклидовой пространственной метрике пространство-время плоское).

В то же время заполняющая пространство материя не может, вообще говоря, покоиться относительно синхронной системы отсчета. Это очевидно из того, что частицы материи, в которой действуют силы давления, движутся, вообще говоря, не по геодезическим мировым линиям; мировая же линия покоящейся частицы есть линия времени и в синхронной системе является геодезической. Исключение представляет случай «пылевидной» материи (p=0). Не взаимодействуя друг с другом, ее частицы движутся по геодезически мировым линиям; в этом случае, следовательно, условие синхронности системы отсчета не противоречит условию ее сопутствия материи. Для других уравнений состояния аналогичная ситуация может иметь место лишь в частных случаях, когда во всех или в некоторых направлениях отсутствует градиент давления.

Из уравнения (97.11) можно показать, что определитель −g=γ метрического тензора в синхронной системе отсчета непременно должен обратиться в нуль за конечное время.