Страница 2 из 3
Напишем уравнения Эйнштейна в синхронной системе отсчета, отделив в них операции пространственных и временного дифференцирований.
Введем обозначение
ϰαβ = 
(97.7)
для производных по времени от трехмерного метрического тензора; эти величины сами составляют трехмерный тензор. Все операции перемещения индексов у трехмерного тензора ϰαβ и его ковариантные дифференцирования производятся в дальнейшем в трехмерном пространстве с метрикой γαβ. Отметим, что сумма 
есть логарифмическая производная определителя γ≡|γαβ|=−g:
= γαβ = 
ln γ. (97.8)
Для символов Кристоффеля находим выражения
= 
= 
= 0, 
= 
ϰαβ, 
= 
, 
= 
, (97.9)
где — трехмерные символы Кристоффеля, образованные из тензора γαβ. Вычисление по формуле (92.7) приводит к следующим выражениям для компонент Rik.
R00 = − − 
, R0α = (
− 
), Rαß = Pαß + ϰαβ + (ϰαβ 
− 2
ϰβγ). (97.10)
Здесь Pαß — трехмерный тензор Риччи, построенный из γαβ так же, как Rik строится из gik; поднятие его индексов производится ниже тоже с помощью трехмерной метрики γαβ.
Уравнения Эйнштейна напишем в смешанных компонентах:
= − − = 8πk 
− T
, (97.11)
= ( − ) = 8πk 
, (97.12)
= −
(
) = 8πk 
− 
T. (97.13)
Характерным свойством синхронных систем отсчета является их нестационарность: в такой системе гравитационное поле не может быть постоянным. Действительно, в постоянном поле было бы ϰαβ=0. Между тем при наличии материи обращение всех xaß в нуль во всяком случае противоречило бы уравнению (97.11) (с отличной от нуля правой частью). В пустом же пространстве мы нашли бы из (97.13), что все Pαß, а тем самым и все компоненты трехмерного тензора кривизны Pαßγδ обращаются в нуль, т. е. поле вообще отсутствует (в синхронной системе при евклидовой пространственной метрике пространство-время плоское).
В то же время заполняющая пространство материя не может, вообще говоря, покоиться относительно синхронной системы отсчета. Это очевидно из того, что частицы материи, в которой действуют силы давления, движутся, вообще говоря, не по геодезическим мировым линиям; мировая же линия покоящейся частицы есть линия времени и в синхронной системе является геодезической. Исключение представляет случай «пылевидной» материи (p=0). Не взаимодействуя друг с другом, ее частицы движутся по геодезически мировым линиям; в этом случае, следовательно, условие синхронности системы отсчета не противоречит условию ее сопутствия материи. Для других уравнений состояния аналогичная ситуация может иметь место лишь в частных случаях, когда во всех или в некоторых направлениях отсутствует градиент давления.
Из уравнения (97.11) можно показать, что определитель −g=γ метрического тензора в синхронной системе отсчета непременно должен обратиться в нуль за конечное время.
