Тетрадное представление уравнений Эйнштейна

Определение компонент тензора Риччи (и тем самым составление уравнений Эйнштейна) для метрики того или иного специального вида связано, вообще говоря, с довольно громоздкими вычислениями. Поэтому приобретают значение различные формулы, позволяющие в некоторых случаях упростить эти вычисления и представить результат в более обозримом виде. К числу таких формул относится выражение тензора кривизны в так называемом тетрадном виде.

Введем совокупность четырех линейно-независимых реперных 4-векторов  (нумеруемых индексом а), подчиненных лишь требованию

e_(b)i = η_ab,                         (98.1)

где η_ab — заданная постоянная симметричная матрица с сигнатурой + − − −; матрицу, обратную матрице η_ab, обозначим через η^αβ(η^acη_cb=). Наряду с четверкой (тетрадой) векторов , введем также четверку взаимных с ними векторов e^(a)i (нумеруемых верхними реперными индексами), определенных условиями

= ,                          (98.2)

т. е. каждый из векторов  ортогонален трем векторам  с d≠a. Умножив равенство (98.2) на , получим ()=, откуда видно, что наряду с (98.2) автоматически выполняются также и равенства

 = .                          (98.3)

Умножив обе части равенства е)^е^ф = г\ас на г\ , получим

 (η^bce_(c)i) = ;

сравнив с (98.2), находим, что

 = η^bce_(c)i,  e_(b)i = η_bc.    (98.4)

Таким образом, поднимание и опускание реперных индексов осуществляется матрицами η^bc и η_bc.

Значение введенных таким образом реперных векторов состоит в том, что через них может быть выражен метрический тензор. Действительно, согласно определению связи между ко- и контравариантными компонентами 4-вектора имеем =g_ile_(a)l; умножив это равенство на e_(a)k и использовав (98.3) и (98.4), найдем

g_ik = e_(a)i = η_ab.    (98.5)

Квадрат элемента интервала с метрическим тензором (98.5) принимает вид

ds² = η_ab(dxⁱ)(dx^k).    (98.6)

Что касается произвольно задаваемой матрицы η_ab, то наиболее естественный ее выбор —в «галилеевой» форме (т.е. диагональная матрица с элементами 1, −1, −1, −1); при этом реперные векторы согласно (98.1), взаимно ортогональны, причем один из них времениподобен, а три других—пространственноподобны. Подчеркнем, однако, что такой выбор отнюдь не обязателен и возможны ситуации, когда по тем или иным причинам (например, по свойствам симметрии метрики) целесообразен выбор неортогональной тетрады.

Тетрадные компоненты 4-вектора Aⁱ (и аналогично для 4-тензоров любого ранга) определяются как его «проекции» на реперные 4-векторы:

A_(a) = A_i,  A^(a) = Aⁱ = η^abA_(b).    (98.7)

Обратно:

A_i = A_(a),  Aⁱ = A^(a).                   (98.8)