20 | 05 | 2024

Тетрадное представление уравнений Эйнштейна

Определение компонент тензора Риччи (и тем самым составление уравнений Эйнштейна) для метрики того или иного специального вида связано, вообще говоря, с довольно громоздкими вычислениями. Поэтому приобретают значение различные формулы, позволяющие в некоторых случаях упростить эти вычисления и представить результат в более обозримом виде. К числу таких формул относится выражение тензора кривизны в так называемом тетрадном виде.

Введем совокупность четырех линейно-независимых реперных 4-векторов  (нумеруемых индексом а), подчиненных лишь требованию

e(b)i = ηab,                         (98.1)

где ηab — заданная постоянная симметричная матрица с сигнатурой + − − −; матрицу, обратную матрице ηab, обозначим через ηαβ(ηacηcb=). Наряду с четверкой (тетрадой) векторов , введем также четверку взаимных с ними векторов e(a)i (нумеруемых верхними реперными индексами), определенных условиями

= ,                          (98.2)

т. е. каждый из векторов  ортогонален трем векторам  с da. Умножив равенство (98.2) на , получим ()=, откуда видно, что наряду с (98.2) автоматически выполняются также и равенства

 = .                          (98.3)

Умножив обе части равенства е)^е^ф = г\ас на г\ , получим

 (ηbce(c)i) = ;

сравнив с (98.2), находим, что

 = ηbce(c)ie(b)i = ηbc.    (98.4)

Таким образом, поднимание и опускание реперных индексов осуществляется матрицами ηbc и ηbc.

Значение введенных таким образом реперных векторов состоит в том, что через них может быть выражен метрический тензор. Действительно, согласно определению связи между ко- и контравариантными компонентами 4-вектора имеем =gile(a)l; умножив это равенство на e(a)k и использовав (98.3) и (98.4), найдем

gik = e(a)i = ηab.    (98.5)

Квадрат элемента интервала с метрическим тензором (98.5) принимает вид

ds2 = ηab(dxi)(dxk).    (98.6)

Что касается произвольно задаваемой матрицы ηab, то наиболее естественный ее выбор —в «галилеевой» форме (т.е. диагональная матрица с элементами 1, −1, −1, −1); при этом реперные векторы согласно (98.1), взаимно ортогональны, причем один из них времениподобен, а три других—пространственноподобны. Подчеркнем, однако, что такой выбор отнюдь не обязателен и возможны ситуации, когда по тем или иным причинам (например, по свойствам симметрии метрики) целесообразен выбор неортогональной тетрады.

Тетрадные компоненты 4-вектора Ai (и аналогично для 4-тензоров любого ранга) определяются как его «проекции» на реперные 4-векторы:

A(a) = AiA(a)Ai = ηabA(b).    (98.7)

Обратно:

Ai = A(a)Ai = A(a).                   (98.8)