13 | 06 | 2024

Тетрадное представление уравнений Эйнштейна

 

Таким же образом определим операцию дифференцирования «вдоль направления а»:

φ,(а) = .

Введем нужные для дальнейшего величины

γacbe(а)i;k                                (98.9)

и их линейные комбинации

λabcγabc − γacb = (e(а)i;k − e(а)k;i)(e(а)i,k − e(а)k,i).    (98.10)

Последнее равенство в (98.10) следует из (86.12); отметим, что величины λabc вычисляются простым дифференцированием реперных векторов.

Обратное выражение γabc через λabc:

γabc = (λabcλbca − λcab).                 (98.11)

Эти величины обладают свойствами симметрии:

γabc = − γbac,  λabc = − λacb.                   (98.12)

Наша цель состоит в определении тетрадных компонент тензора кривизны. Надо исходить из определения (91.6), примененного к ковариантным производным реперных векторов:

e(a)i;k;l − e(a)i;l;kRmikl

или

R(a)(b)(c)(d) = (e(a)i;k;l − e(a)i;l;k).

Это выражение легко выразить через величины γabc. Пишем

e(a)i;kγabc,

а после следующего ковариантного дифференцирования производные от реперных векторов снова выражаются таким же образом; при этом ковариантная производная от скалярной величины γabc совпадает с ее простой производной. В результате получается:

R(a)(b)(c)(d) = γa,c,d − γabd,cγabf (γfcdγfdc) + γafcγfbdγafdγfbc,    (98.13)

где в соответствии с общим правилом γabc=ηadγabc и т. п.

Упрощение этого тензора по паре индексов а, с дает искомые тетрадные компоненты тензора Риччи; приведем их выраженными уже через величины λabc:

R(a)(b) = −  (λabc,cλbac,c + λcca,b + λccb,a) + λcdbλcda + λcdbλdca λbcdλacdλccdλabd + λccdλbad).    (98.14)

Наконец, обратим внимание на то, что изложенные построения по существу никак не связаны с четырехмерностью метрики. Поэтому полученные результаты могут быть применены и к вычислению трехмерных тензоров Римана и Риччи по трехмерной метрике. При этом, естественно, вместо тетрады реперных 4-векторов мы будем иметь дело с триадой трехмерных векторов, а матрица ηab должна иметь сигнатуру + + +.