Страница 2 из 2
Таким же образом определим операцию дифференцирования «вдоль направления а»:
φ,(а) = 
.
Введем нужные для дальнейшего величины
γacb = e(а)i;k
(98.9)
и их линейные комбинации
λabc = γabc − γacb = (e(а)i;k − e(а)k;i) = (e(а)i,k − e(а)k,i). (98.10)
Последнее равенство в (98.10) следует из (86.12); отметим, что величины λabc вычисляются простым дифференцированием реперных векторов.
Обратное выражение γabc через λabc:
γabc = 
(λabc + λbca − λcab). (98.11)
Эти величины обладают свойствами симметрии:
γabc = − γbac, λabc = − λacb. (98.12)
Наша цель состоит в определении тетрадных компонент тензора кривизны. Надо исходить из определения (91.6), примененного к ковариантным производным реперных векторов:
e(a)i;k;l − e(a)i;l;k = 
Rmikl
или
R(a)(b)(c)(d) = (e(a)i;k;l − e(a)i;l;k)
.
Это выражение легко выразить через величины γabc. Пишем
e(a)i;k = γabc
,
а после следующего ковариантного дифференцирования производные от реперных векторов снова выражаются таким же образом; при этом ковариантная производная от скалярной величины γabc совпадает с ее простой производной. В результате получается:
R(a)(b)(c)(d) = γa,c,d − γabd,c + γabf (γfcd − γfdc) + γafcγfbd − γafdγfbc, (98.13)
где в соответствии с общим правилом γabc=ηadγabc и т. п.
Упрощение этого тензора по паре индексов а, с дает искомые тетрадные компоненты тензора Риччи; приведем их выраженными уже через величины λabc:
R(a)(b) = − (λabc,c + λbac,c + λcca,b + λccb,a) + λcdbλcda + λcdbλdca − λbcdλacd + λccdλabd + λccdλbad). (98.14)
Наконец, обратим внимание на то, что изложенные построения по существу никак не связаны с четырехмерностью метрики. Поэтому полученные результаты могут быть применены и к вычислению трехмерных тензоров Римана и Риччи по трехмерной метрике. При этом, естественно, вместо тетрады реперных 4-векторов мы будем иметь дело с триадой трехмерных векторов, а матрица ηab должна иметь сигнатуру + + +.
