Страница 1 из 2
Перейдем к выводу закона сохранения, возникновение которого связано с изотропией пространства.
Эта изотропия означает, что механические свойства замкнутой системы не меняются при любом повороте системы как целого в пространстве. В соответствии с этим рассмотрим бесконечно малый поворот системы и потребуем, чтобы ее функция Лагранжа при этом не изменилась.
Введем вектор δφ бесконечно малого поворота, абсолютная величина которого равна углу δφ поворота, а направление совпадает с осью поворота (причем так, что направление поворота отвечает правилу винта по отношению к направлению δφ).
Найдем, прежде всего, чему равно при таком повороте приращение радиус-вектора, проведенного из общего начала координат (расположенного на оси вращения) к какой-либо из материальных точек поворачиваемой системы. Линейное перемещение конца радиус-вектора связано с углом соотношением
|δr| = г sinΘ • δφ
(рис. 5). Направление же вектора перпендикулярно к плоскости, проходящей через г и δφ.
Рис. 5
Поэтому ясно, что
δr = [δφ • г]. (9.1)
При повороте системы меняется направление не только радиус-векторов, но и скоростей всех частиц, причем все векторы преобразуются по одинаковому закону. Поэтому приращение скорости относительно неподвижной системы координат
δv = [δφ • v]. (9.2)
Подставив эти выражения в условие неизменяемости функции Лагранжа при повороте
δL = 
(
δrα + 
δvα) = 0
и заменив производные ∂L/∂vα = pα, ∂L/∂rα = 
α, получим
(α[δφ • гα] + рα[δφ • vα]) = 0,
или, производя циклическую перестановку множителей и вынося δφ за знак суммы, имеем
δφ([гα α] + [vα рα]) = δφ
[гα рα] = 0.
Ввиду произвольности δφ отсюда следует, что
[гα рα] = 0,
т.е. мы приходим к выводу, что при движении замкнутой системы сохраняется векторная величина
M = [гα рα], (9.3)
называемая моментом импульса (или просто моментом) системы. Аддитивность этой величины очевидна, причем, как и у импульса, она не зависит от наличия или отсутствия взаимодействия между частицами.
