Страница 2 из 2
Поскольку кинетическая энергия Т является квадратичной функцией скоростей, то по теореме Эйлера об однородных функциях
vα = 2Т,
или, вводя импульсы ∂Т/∂vα = рα, получаем
2Т = рα vα = 
( рα vα) − рα 
α. (10.4)
Усредним это равенство по времени. Средним значением какой-либо функции времени ƒ(t) называется величина
= 
ƒ(t)dt.
Легко видеть, что если ƒ(t) является производной по времени ƒ(t) = dF(t)/dt от ограниченной (т.е. не принимающей бесконечных значений) функции F(t), то ее среднее значение обращается в нуль. Действительно,
= 
dt = 
= 0.
Предположим, что система совершает движение в конечной области пространства и со скоростями, не обращающимися в бесконечность. Тогда величина ∑rαpα ограничена, и среднее значение первого члена в правой части равенства (10.4) обращается в нуль. Во втором же заменяем ра, согласно уравнениям Ньютона, на −∂U/∂rα и получаем
2
= 
(10.5)
Если потенциальная энергия является однородной функцией k-й степени от всех радиус-векторов ra, то, согласно теореме Эйлера, равенство (10.5) переходит в искомое соотношение
2 = k 
. (10.6)
Поскольку +=
=Е, соотношение (10.6) можно представить в эквивалентных формах
= 
E, = 
E (10.7)
выражающих и через полную энергию системы.
В частности, для малых колебаний (k = 2) имеем
= ,
т.е. средние значения кинетической и потенциальной энергий совпадают. Для ньютоновского взаимодействия (k = −1)
2 = −.
При этом Е = − в соответствии с тем, что при таком взаимодействии движение происходит в конечной области пространства лишь при отрицательной полной энергии.
