При движении механической системы 2s величин qi и 
i (i = 1, 2, ..., s), определяющих ее состояние, изменяются со временем. Существуют, однако, такие функции этих величин, которые сохраняют при движении постоянные значения, зависящие только от начальных условий. Эти функции называют интегралами движения.
Число независимых интегралов движения для замкнутой механической системы с s степенями свободы равно 2s−1. Это очевидно из следующих простых соображений. Общее решение уравнений движения содержит 2s произвольных постоянных.
Поскольку уравнения движения замкнутой системы не содержат времени явно, то выбор начала отсчета времени совершенно произволен, и одна из произвольных постоянных в решении уравнений всегда может быть выбрана в виде аддитивной постоянной t0 во времени. Исключив t+t0 из 2s функций
qi = qi (t + t0, C1, С2, ..., С2s−1),
i = i (t + t0, C1, С2, ..., С2s−1),
мы выразим 2s−1 произвольных постоянных C1, С2, ..., С2s−1 в виде функций от q и , которые и будут интегралами движения.
Однако далеко не все интегралы движения играют одинаково важную роль в механике. Среди них есть несколько, постоянство которых имеет весьма глубокое происхождение, связанное с основными свойствами пространства и времени — их однородностью и изотропией. Все эти, как говорят, сохраняющиеся величины имеют важное общее свойство аддитивности — их значение для системы, состоящей из частей, взаимодействием которых можно пренебречь, равно сумме значений для каждой из частей в отдельности.
Именно свойство аддитивности придает соответствующим величинам особенно важную механическую роль. Предположим, например, что два тела взаимодействуют в течение некоторого времени. Поскольку как до, так и после взаимодействия каждый из аддитивных интегралов всей системы равен сумме их значений для обоих тел в отдельности, то законы сохранения этих величин сразу дают возможность сделать ряд заключений о состоянии тел после взаимодействия, если их состояния до взаимодействия известны.
Начнем с закона сохранения, возникающего в связи с однородностью времени.
В силу этой однородности лагранжева функция замкнутой системы не зависит явно от времени. Поэтому полная производная функции Лагранжа по времени может быть записана следующим образом:
= 
i + 
i
(если бы L зависела явно от времени, к правой части равенства добавился бы член ∂L/∂t). Заменяя производные ∂L/∂qi, согласно уравнениям Лагранжа, на 
получим
= i + i = ( i)
или
( i − L) = 0.
Отсюда видно, что величина
E = i − L (6.1)
остается неизменной при движении замкнутой системы, т.е. является одним из ее интегралов движения. Эта величина называется энергией системы. Аддитивность энергии непосредственно следует из аддитивности функции Лагранжа, через которую она выражается, согласно (6.1), линейным образом.
Закон сохранения энергии справедлив не только для замкнутых систем, но и для систем, находящихся в постоянном (т.е. не зависящем от времени) внешнем поле; единственное использованное в приведенном выводе свойство функции Лагранжа — отсутствие явной зависимости от времени — имеется и в этом случае. Механические системы, энергия которых сохраняется, иногда называют консервативными.
Лагранжева функция замкнутой (или находящейся в постоянном поле) системы имеет вид
L = Т (q,) − U (q),
где Т — квадратичная функция скоростей. Применяя к ней известную теорему Эйлера об однородных функциях, получим
i = i 
= 2T.
Подставляя это значение в (6.1), найдем
Е = Т (q,) + U (q), (6.2)
в декартовых координатах
E = 
+ U (r1, r2, ...). (6.3)
Таким образом, энергия системы может быть представлена в виде суммы двух существенно различных членов: кинетической энергии, зависящей от скоростей, и потенциальной энергии, зависящей только от координат частиц.
