Страница 1 из 2
Действие для частицы, движущейся в заданном электромагнитном поле, складывается из двух частей: из действия (8.1) свободной частицы и из члена, описывающего взаимодействие частицы с полем. Последний должен содержать как величины, характеризующие частицу, так и величины, характеризующие поле.
Оказывается, что свойства частицы в отношении ее взаимодействия с электромагнитным полем определяются всего одним параметром — так называемым зарядом частицы e, который может быть как положительной, так и отрицательной (или равной нулю) величиной. Свойства же поля характеризуются 4-вектором Аi, так называемым 4-потенциалом, компоненты которого являются функциями координат и времени. Эти величины входят в действие в виде члена
− 
Aidxi,
где функции Ai берутся в точках мировой линии частицы. Множитель 1/c введен здесь для удобства. Следует отметить, что до тех пор, пока у нас нет никаких формул, связывающих заряд или потенциалы с известными уже величинами, единицы для их измерения могут быть выбраны произвольным образом.
Таким образом, действие для заряда в электромагнитном поле имеет вид
S = (− mc ds − Aidxi). (16.1)
Три пространственные компоненты 4-вектора Ai образуют трехмерный вектор A, называемый векторным потенциалом поля. Временную же компоненту называют скалярным потенциалом; обозначим ее как A0=φ Таким образом,
Ai = (φ, A). (16.2)
Поэтому интеграл действия можно написать в виде
S = (− mc ds + A dr − eφ dt),
или, вводя скорость частицы v=dr/dt и переходя к интегрированию по времени, в виде
S = 
(− mc2 
+ Av − eφ) dt. (16.3)
Подынтегральное выражение есть функция Лагранжа для заряда в электромагнитном поле:
L = − mc2 + Av − eφ. (16.4)
Это выражение отличается от функции Лагранжа (8.2) для свободной частицы членами Av−eφ, которые описывают взаимодействие заряда с полем.
Производная ∂L/∂v есть обобщенный импульс частицы; обозначим его буквой P. Производя дифференцирование, находим
Р = 
+ A = p + A. (16.5)
Здесь мы обозначили буквой p обычный импульс частицы, который мы и будем называть просто импульсом.
