Страница 2 из 2
Из функции Лагранжа можно найти функцию Гамильтона частицы в поле по известной общей формуле
= v 
− L.
Подставляя сюда (16.4), найдем
= 
+ eφ. (16.6)
Функция Гамильтона, однако, должна быть выражена не через скорость, а через обобщенный импульс частицы.
Из (16.5), (16.6) видно, что соотношение между −eφ и P−
A — такое же, как между и p в отсутствие поля, т.е.
= m2c2 + 
P − A
, (16.7)
или иначе:
= 
+ eφ. (16.8)
Для малых скоростей, т. е. в классической механике, функция Лагранжа (16.4) переходит в
L = 
+ Av − eφ. (16.9)
В этом приближении
p = mv = P − A,
и мы находим следующее выражение для функции Гамильтона:
= 
P − A + eφ. (16.10)
Наконец, выпишем уравнение Гамильтона-Якоби для частицы в электромагнитном поле. Оно получается заменой в функции Гамильтона обобщенного импульса P на ∂S/∂r, а самого —на, −∂S/∂t. Таким образом, получим из (16.7)
grad S − A − 
− eφ + m2c2 = 0. (16.11)
