Рассмотрим движение заряда е в однородном постоянном электрическом поле E. Направление поля примем за ось x. Движение будет, очевидно, происходить в одной плоскости, которую выберем за плоскость xy.
Тогда уравнения движения (17.5) примут вид
x = eE, y = 0
(точка над буквой обозначает дифференцирование по t), откуда
px = eEt, py = p0. (20.1)
Начало отсчета времени мы выбрали в тот момент, когда px= 0; p0 есть импульс частицы в этот момент.
Кинетическая энергия частицы (энергия без потенциальной энергии в поле) равна 
кин=c
. Подставляя сюда (20.1), находим в нашем случае
кин = 
= 
, (20.2)
где 0 – энергия при t=0.
Согласно (9.8) скорость частицы v=pc2⁄кин. Для скорости 
x=
имеем, следовательно,
= 
= 
.
Интегрируя, находим
x = 
(20.3)
(постоянную интегрирования полагаем равной нулю).
Для определения у имеем
= 
= 
,
откуда
y = 
Arsh 
. (20.4)
Уравнение траектории находим, выражая из (20.4) t через y и подставляя в (20.3). Это дает
x = 
ch 
. (20.5)
Таким образом, заряд движется в однородном электрическом поле по цепной линии.
Если скорость частицы <<c, то можно положить p0=m0, 0=mc2; разлагая (20.5) по степеням 1/c, получим, с точностью до членов высшего порядка:
x = 
+ const,
т. е. заряд движется по параболе, — результат, хорошо известный из классической механики.
