Движение в постоянном однородном магнитном поле

Рассмотрим теперь движение заряда e в однородном магнитном поле H. Направление поля выберем за ось z. Уравнения движения

 = [vH]

мы перепишем в другом виде, подставив вместо импульса

p = ,

где  — энергия частицы, которая в магнитном поле постоянна.

Уравнения движения приобретают тогда вид

  =  [vH],                                  (21.1)

или, в компонентах,

_x = ων_y,  _y = −ων_x,  _z = 0,                  (21.2)

где мы ввели обозначение

ω = .                                    (21.3)

Умножим второе из уравнений (21.2) на г и сложим с первым:

(v_x + iv_y) = −iω(ν_x + iv_y),

откуда

v_x + iv_y = ae^−iωt,

где a — комплексная постоянная. Ее можно написать в виде a=v_0te^−iα, где v_0t и α вещественны. Тогда

v_x + iv_y = v_0te^−i(ωt+α),

и, отделяя действительную и мнимую части, находим

v_x = v_0t cos (ωt + α),  v_y = −v_0t sin (ωt + α).         (21.4)

Постоянные v_0t и α определяются начальными условиями, α есть
начальная фаза; что же касается v_0t, то из (21.4) видно, что

v_0t = ,

т.е. v_0t есть скорость частицы в плоскости ху, остающаяся при движении постоянной.

Из (21.4) находим, интегрируя еще раз:

х = х₀ + r sin (ωt + α),  y = y₀ + r cos (ωt + α),           (21.5)

где

r =  =  =                                                  (21.6)

(p_t — проекция импульса на плоскость xy). Из третьего уравнения (21.2) находим: v_z = v_0z и

z = z₀ + v_0zt.                                                             (21.7)