Тензор электромагнитного поля

Тогда полученное уравнение напишется в виде

mc  =  F^iku_k.                        (23.4)

Это — уравнение движения заряда в четырехмерной форме.

Смысл отдельных компонент тензора F_ik легко выяснить, подставив значения A_i=(φ, −A) в определение (23.3). Результат можно записать в виде таблицы, в которой индекс i=0,1,2,3 нумерует строки, а индекс k — столбцы:

F_ik = ,  F^ik =    (23.5)

Короче, можно написать:

F_ik = (E,H),  F^ik = (−E,H).

Таким образом, компоненты напряженностей электрического и магнитного полей являются компонентами одного 4-тензора электромагнитного поля.

Переходя к трехмерным обозначениям, легко убедиться в том, что три пространственные компоненты (i=1,2,3) уравнения (23.4) тождественны с векторным уравнением движения (17.5), а временная компонента (i=0) — с уравнением работы (17.7). Последнее есть следствие уравнения движения; тот факт, что из четырех уравнений (23.4) только три независимы, можно легко обнаружить также и непосредственно, умножив обе части (23.4) на uⁱ. Тогда левая часть равенства обратится в нуль ввиду ортогональности 4-векторов uⁱ и du_i/ds, а правая часть — ввиду антисимметричности тензора F_ik.

Если рассматривать в вариации δS только истинные траектории, то первый член в (23.2) тождественно обратится в нуль. Тогда второй член, в котором верхний предел рассматривается как переменный, дает дифференциал действия как функции координат. Таким образом,

δS = −(mcu_i + A_i) δxⁱ .                              (23.6)

Отсюда

− = mcu_i+ A_i = p_i + A_i.                   (23.7)

Четырехмерный вектор −∂S/∂xⁱ есть 4-вектор обобщенного импульса частицы P_i. Подставляя значения компонент p_i и A_i, найдем, что

Pⁱ = ,p + A.                          (23.8)

Как и следовало, пространственные компоненты 4-вектора P_i образуют трехмерный вектор обобщенного импульса (16.5), а временная компонента есть /c, где  — полная энергия заряда в поле.