Инварианты поля

Из векторов напряженностей электрического и магнитного полей можно составить инвариантные величины, остающиеся неизменными при преобразованиях от одной инерциальной системы отсчета к другой.

Вид этих инвариантов легко найти исходя из четырехмерного представления поля с помощью антисимметричного 4-тензора F^ik. Очевидно, что из компонент этого тензора можно составить следующие инвариантные величины:

F_ik F^ik = inv,                                 (25.1)

e^iklm F_ik F_im = inv,                        (25.2)

где e^iklm — совершенно антисимметричным единичный тензор. Первая из этих величин — истинный скаляр, а вторая — псевдоскаляр (произведение тензора F^ik на дуальный ему тензор).

Выражая компоненты F^ik через компоненты E и H согласно (23.5), легко убедиться в том, что в трехмерной форме эти инварианты имеют вид

H² − E² = inv,                               (25.3)

EH = inv.                                      (25.4)

Псевдоскалярность второго из них очевидна из того, что он представляет собой произведение полярного вектора E на аксиальный вектор H (квадрат же (EH)² будет истинным скаляром).

Из инвариантности приведенных двух выражений вытекают следующие выводы. Если в какой-нибудь системе отсчета электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны, т. е. EH=0, то они перпендикулярны и во всякой другой инерциальной системе отсчета. Если в какой-нибудь системе отсчета абсолютные величины E и H равны друг другу, то они одинаковы и в любой другой системе.

Имеют, очевидно, место также и следующие неравенства. Если в какой-нибудь системе отсчета E>H (или E<H), то и во всякой другой системе будет E>H (или E<H). Если в какой-либо системе отсчета векторы E и H образуют острый (или тупой) угол, то они будут образовывать острый (или тупой) угол и во всякой другой системе.

Преобразованием Лоренца можно всегда достичь того, чтобы E и H получили любые значения, удовлетворяющие только условию, чтобы E²−H² и EH имели заданные определенные значения. В частности, можно найти такую инерциальную систему отсчета, в которой электрическое и магнитное поля в данной точке параллельны друг другу. В этой системе EH=EH, и из двух уравнений

E² − H² =  − ,   EH = E₀H₀

можно найти значения E и H в этой системе отсчета (E₀ и H₀ — электрическое и магнитное поля в исходной системе отсчета).