Тензор инерции

Для вычисления кинетической энергии твердого тела рассмотрим его как дискретную систему материальных точек:

T = ,

где суммирование производится по всем точкам, составляющим тело. Здесь и ниже мы опускаем индексы, нумерующие эти точки, с целью упрощения записи формул.

Подставив сюда (31.2), получим

T =  (V + [Ωr])² = V ² + m V [Ωr] +  [Ωr]².

Скорости V и Ω одинаковы для всех точек твердого тела. Поэтому в первом члене V ²/2 выносится за знак суммы, а сумма ∑m есть масса тела, которую мы будем обозначать буквой μ.

Второй член запишем так:

m V [Ωr] = m r [Ωr] = [Ωr] m r.

Отсюда видно, что если начало движущейся системы координат выбрано, как условлено, в центре инерции, то этот член обращается в нуль, так как в этом случае mr=0. Наконец, в третьем члене раскрываем квадрат векторного произведения и в результате находим

T = +  m {Ω²r ² − (Ωr)²}.                                (32.1)

Таким образом, кинетическая энергия твердого тела может быть представлена в виде суммы двух частей. Первый член в (32.1) есть кинетическая энергия поступательного движения — она имеет такой вид, как если бы вся масса тела была сосредоточена в его центре инерции. Второй член есть кинетическая энергия вращательного движения с угловой скоростью Ω вокруг оси, проходящей через центр инерции. Подчеркнем, что возможность такого разделения кинетической энергии на две части обусловлена выбором начала связанной с телом системы координат именно в его центре инерции.

Перепишем кинетическую энергию вращения в тензорных обозначениях, т.е. через компоненты x_i , Ω_i векторов r, Ω:

T_вр =  m {Ω_i²x_i² − Ω_i x_i Ω_k x_k} = m {Ω_i Ω_k δ_ik x_i² − Ω_i Ω_k x_i x_k} =  Ω_i Ω_k m (x_i² δ_ik − x_i x_k).

Здесь использовано тождество Ω_i=δ_ikΩ_k, где δ_ik — единичный тензор (компоненты которого равны единице при i=k и нулю при i≠k). Введя тензор

  I_ik = m (x_i² δ_ik − x_i x_k),                                            (32.2)

получим окончательное выражение для кинетической энергии твердого тела в виде

T = +  I_ik Ω_i Ω_k .                                                 (32.3)

Функция Лагранжа твердого тела получается из (32.3) вычитанием потенциальной энергии

L =  +  I_ik Ω_i Ω_k − U.                                            (32.4)

Потенциальная энергия является в общем случае функцией шести переменных, определяющих положение твердого тела, например, трех координат X, Y, Z центра инерции и трех углов, определяющих ориентацию движущихся осей координат относительно неподвижных.

Тензор I_ik называется тензором моментов инерции или просто тензором инерции тела. Как ясно из определения (32.2), он симметричен, т.е.

I_ik = I_ki .                                                                      (32.5)

Выпишем для наглядности его компоненты в явном виде в следующей таблице:

I_ik =  . (32.6)

Компоненты I_xx, I_yy,  I_zz иногда называют моментами инерции относительно соответствующих осей.