Угловая скорость

В механике твердое тело можно определить как систему материальных точек, расстояния между которыми неизменны. Реально существующие в природе системы могут, конечно, удовлетворять этому условию лишь приближенно. Но большинство твердых тел в обычных условиях так мало изменяет свою форму и размеры, что при изучении законов движения твердого тела, рассматриваемого как нечто целое, можно вполне отвлечься от этих изменений.

Подробнее: Угловая скорость

Тензор инерции

Для вычисления кинетической энергии твердого тела рассмотрим его как дискретную систему материальных точек:

T = ,

где суммирование производится по всем точкам, составляющим тело. Здесь и ниже мы опускаем индексы, нумерующие эти точки, с целью упрощения записи формул.

Подробнее: Тензор инерции

Момент импульса твердого тела

Величина момента импульса системы зависит, как мы знаем, от выбора точки, относительно которой он определен. В механике твердого тела наиболее рационален выбор в качестве этой точки начала подвижной системы координат, т.е. центра инерции тела. Ниже мы будем понимать под M момент, определенный именно таким образом.

Подробнее: Момент импульса твердого тела

Уравнения движения твердого тела

Поскольку твердое тело обладает в общем случае шестью степенями свободы, то общая система уравнений движения должна содержать шесть независимых уравнений. Их можно представить в виде, определяющем производные по времени от двух векторов: импульса и момента тела.

Подробнее: Уравнения движения твердого тела

Эйлеровы углы

Как уже указывалось, для описания движения твердого тела можно пользоваться тремя координатами его центра инерции и какими-либо тремя углами, определяющими ориентацию осей x₁, x₂, x₃ движущейся системы координат относительно неподвижной системы X, Y, Z качестве этих углов часто оказываются удобными так называемые эйлеровы углы.

Подробнее: Эйлеровы углы

Уравнения Эйлера

Уравнения движения написанные в статье "Уравнения движения твердого тела" относятся к неподвижной системе координат: производные dP/dt и dM/dt в уравнениях (34.1) и (34.3) представляют собой изменения векторов P и M по отношению к этой системе. Между тем, наиболее простая связь между компонентами вращательного момента M твердого тела и компонентами угловой скорости имеет место в подвижной системе координат с осями, направленными по главным осям инерции. Для того чтобы воспользоваться этой связью, необходимо предварительно преобразовать уравнения движения к подвижным координатам x₁, x₂, x₃.

Подробнее: Уравнения Эйлера

Асимметрический волчок

Применим уравнения Эйлера к более сложной задаче о свободном вращении асимметрического волчка, у которого все три момента инерции различны. Для определенности будем считать, что

I₃ > I₂ > I₁.                                                        (37.1)

Два интеграла уравнений Эйлера известны заранее. Они даются законами сохранения энергии и момента и выражаются равенствами

I₁ + I₂ + I₃ = 2E,  + +  =M ²,      (37.2)

Подробнее: Асимметрический волчок

Соприкосновение твердых тел

Условия равновесия твердого тела, как это видно из уравнений движения (34.1) и (34.3), можно сформулировать в виде равенства нулю действующих на него полной силы и полного момента сил:

F = f = 0,  K = [rf] = 0.                                       (38.1)

Подробнее: Соприкосновение твердых тел

Движение в неинерциальной системе отсчета

До сих пор, рассматривая движение любой механической системы, мы всегда относили его к инерциальной системе отсчета. Только в инерциальных системах отсчета функция Лагранжа, например, одной частицы во внешнем поле имеет вид

L₀ = − U,                                                     (39.1)

и соответственно уравнение движения

m = − 

(мы будем в этом параграфе отличать индексом 0 величины, относящиеся к инерциальной системе отсчета).

Подробнее: Движение в неинерциальной системе отсчета