Полное решение в общем виде допускает чрезвычайно важная задача о движении системы, состоящей всего из двух взаимодействующих частиц (задача двух тел).
В качестве предварительного шага к решению этой задачи покажем, каким образом она может быть существенно упрощена путем разложения движения системы на движение центра инерции и движения точек относительно последнего.
Потенциальная энергия взаимодействия двух частиц зависит лишь от расстояния между ними, т.е. от абсолютной величины разности их радиус-векторов. Поэтому лагранжева функция такой системы
L = 
+ 
− U (|r1 − г2|). (13.1)
Введем вектор взаимного расстояния обеих точек
r = r1 - г2
и поместим начало координат в центре инерции, что дает
m1r1 + m2r2 = 0.
Из двух последних равенств находим
r1 = 
r, r2 = − r. (13.2)
Подставляя эти выражения в (13.1), получим
L = 
− U (r), (13.3)
где введено обозначение
m = 
; (13 4)
величина m называется приведенной массой. Функция (13.3) формально совпадает с функцией Лагранжа одной материальной точки с массой m, движущейся во внешнем поле U(r), симметричном относительно неподвижного начала координат.
Таким образом, задача о движении двух взаимодействующих материальных точек сводится к решению задачи о движении од-
ной точки в заданном внешнем поле U(r). По решению г=г(t) этой задачи траектории г1=г1(t) и г2=г2(t) каждой из частиц m1 и m2 в отдельности (по отношению к их общему центру инерции) получаются по формулам (13.2).
