Рассеяние свободными зарядами

Определим полное сечение σ. Для этого выберем направление Е в качестве полярной оси; тогда do=sinθdθdφ и, интегрируя по dθ от 0 до π и по dφ от 0 до 2π, находим

σ =                                       (78.5)

(так называемая формула Томсона).

Наконец, вычислим дифференциальное сечение dσ в случае, когда падающая волна не поляризована (естественный свет). Для этого мы должны усреднить (78.4) по всем направлениям вектора Е в плоскости, перпендикулярной к направлению распространения падающей волны (направлению волнового вектора k). Обозначив через e единичный вектор в направлении Е, пишем

= 1 −  = 1 − n'_αn'_β .

Усреднение осуществляется формулой

=  δ_αβ −                               (78.6)

и дает

=  1 +  = (1 + cos²ϑ),

где ϑ —угол между направлениями падающей и рассеянной волн (угол рассеяния). Таким образом, искомое сечение рассеяния неполяризованной волны свободным зарядом равно

dσ =  (1 + cos²ϑ) do.                       (78.7)

Наличие рассеяния приводит к появлению некоторой силы, действующей на рассеивающую частицу. В этом легко убедиться из следующих соображений. Падающая на частицу волна теряет в среднем в единицу времени энергию cσ, где  — средняя плотность энергии, а σ — полное сечение рассеяния. Поскольку импульс поля равен его энергии, деленной на скорость света, то падающая волна теряет при этом импульс, равный по величине σ. С другой стороны, в системе отсчета, в которой заряд совершает лишь малые колебания под влиянием силы еЕ, и его скорость υ поэтому мала, полный поток импульса в рассеянной волне равен, с точностью до членов высшего порядка по υ/с, нулю. Поэтому весь теряемый падающей волной импульс «поглощается» рассеивающей частицей. Средняя действующая на частицу сила  равна средней величине поглощаемого в единицу времени импульса, т. е.

 = σn                                                   (78.8)

(n —единичный вектор в направлении распространения падающей волны). Отметим, что средняя сила оказывается величиной второго порядка по отношению к полю падающей волны, в то время как «мгновенная» сила (главная часть которой есть еЕ) — первого порядка по отношению к полю.

Формулу (78.8) можно получить и непосредственно, усредняя силу торможения (75.10). Первый член, пропорциональный Е, при усреднении обращается в нуль (как и среднее значение основной силы еЕ). Второй же член дает

=   =  · n,

что ввиду (78.5) совпадает с (78.8).