Страница 2 из 2
Это выражение может быть написано также и в виде
x = α cos (ωt + 
). (21.8)
Поскольку cos(ωt+)=cosωt×cos−sinωt×sin, сравнение с (21.7) показывает, что произвольные постоянные α и связаны с постоянными c1 и c2 соотношениями
α = 
, tg = −c2⁄c1. (21.9)
Таким образом, вблизи положения устойчивого равновесия система совершает гармоническое колебательное движение. Коэффициент а при периодическом множителе в (21.8) называется амплитудой колебаний, а аргумент косинуса — их фазой; есть начальное значение фазы, зависящее, очевидно, от выбора начала отсчета времени. Величина ω называется циклической частотой колебаний; в теоретической физике, впрочем, ее называют обычно просто частотой, что мы и будем делать в дальнейшем.
Частота является основной характеристикой колебаний, не зависящей от начальных условий движения. Согласно формуле (21.6) она всецело определяется свойствами механической системы как таковой. Подчеркнем, однако, что это свойство частоты связано с предполагаемой малостью колебаний и исчезает при переходе к более высоким приближениям. С математической точки зрения оно связано с квадратичной зависимостью потенциальной энергии от координаты.
Энергия системы, совершающей малые колебания, есть
E = 
+ 
= 
(
2 + ω2x2)
или, подставив сюда (21.8):
E = 
mω2α2. (21.10)
Она пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.
Зависимость координаты колеблющейся системы от времени часто оказывается удобным представлять в виде вещественной части комплексного выражения
x = Reе{Aeiωt}, (21.11)
где А — комплексная постоянная; написав ее в виде
A = αei, (21.12)
мы вернемся к выражению (21.8). Постоянную A называют комплексной амплитудой; ее модуль совпадает с обычной амплитудой, а аргумент — с начальной фазой.
Оперирование с экспоненциальными множителями в математическом отношении проще, чем с тригонометрическими, так как дифференцирование не меняет их вида. При этом, пока мы производим лишь линейные операции (сложение, умножение на постоянные коэффициенты, дифференцирование, интегрирование), можно вообще опускать знак взятия вещественной части, переходя к последней лишь в окончательном результате вычислений.
