Для изучения механических явлений надо выбрать ту или иную систему отсчета. В различных системах отсчета законы движения имеют, вообще говоря, различный вид. Если взять произвольную систему отсчета, то может оказаться, что законы даже совсем простых явлений будут выглядеть в ней весьма сложно. Естественно, возникает задача отыскания такой системы отсчета, в которой законы механики выглядели бы наиболее просто.
По отношению к произвольной системе отсчета пространство является неоднородным и неизотропным. Это значит, что если какое-либо тело не взаимодействует ни с какими другими телами, то, тем не менее, его различные положения в пространстве и его различные ориентации в механическом отношении не эквивалентны. То же самое относится в общем случае и ко времени, которое будет неоднородным, т.е. его различные моменты неэквивалентными. Усложнение, которое вносили бы такие свойства пространства и времени в описание механических явлений, — очевидно. Как, например, свободное (т.е. не подвергающееся внешним воздействиям) тело не могло бы покоиться: если скорость тела в некоторый момент времени и равна нулю, то уже в следующий момент тело начало бы двигаться в некотором направлении.
Оказывается, однако, что всегда можно найти такую систему отсчета, по отношению к которой пространство является однородным и изотропным, а время — однородным. Такая система называется инерциальной. В ней, в частности, свободное тело, покоящееся в некоторый момент времени, остается в покое неограниченно долго.
Мы можем теперь сразу сделать некоторые заключения о виде функции Лагранжа свободно движущейся материальной точки в инерциальной системе отсчета. Однородность пространства и времени означает, что эта функция не может содержать явным образом ни радиус-вектора г точки, ни времени t, т.е. L является функцией лишь скорости v. В силу же изотропии пространства функция Лагранжа не может зависеть также и от направления вектора v, так что является функцией лишь от его абсолютной величины, т.е. от квадрата v2 = v2:
L = L (v2). (3.1)
Ввиду независимости функции Лагранжа от г имеем ∂L/∂r = 0, и потому уравнения Лагранжа имеют вид
= 0
откуда ∂L/∂v = const. Но поскольку ∂L/∂v является функцией только скорости, то отсюда следует, что и
v = const. (3.2)
Таким образом, мы приходим к выводу, что в инерциальной системе отсчета всякое свободное движение происходит с постоянной по величине и направлению скоростью. Это утверждение составляет содержание так называемого закона инерции.
Если наряду с имеющейся у нас инерциальной системой отсчета мы введем другую систему, движущуюся относительно первой прямолинейно и равномерно, то законы свободного движения по отношению к этой новой системе будут теми же, что и по отношению к первоначальной: свободное движение снова будет происходить с постоянной скоростью.
Опыт показывает, однако, что не только законы свободного движения будут одинаковыми в этих системах, но что и во всех других механических отношениях они будут полностью эквивалентными. Таким образом, существует не одна, а бесконечное множество инерциальных систем отсчета, движущихся друг относительно друга прямолинейно и равномерно. Во всех этих системах свойства пространства и времени одинаковы и одинаковы все законы механики. Это утверждение составляет содержание так называемого принципа относительности Галилея одного из важнейших принципов механики.
Все сказанное достаточно ясно свидетельствует об исключительности свойств инерциальных систем отсчета, в силу которых именно эти системы должны, как правило, использоваться при изучении механических явлений. Везде в дальнейшем, где обратное не оговорено особо, мы будем рассматривать только инерциальные системы отсчета.
Полная механическая эквивалентность всего бесчисленного множества таких систем показывает в то же время, что не существует никакой одной «абсолютной» системы отсчета, которую можно было бы предпочесть другим системам.
Координаты r и r’ одной и той же точки в двух различных системах отсчета К и К', из которых вторая движется относительно первой со скоростью V, связаны друг с другом соотношением
r = r' + Vt. (3.3)
При этом подразумевается, что ход времени одинаков в обеих системах:
t = t'. (3.4)
Предположение об абсолютности времени лежит в самой основе представлений классической механики.
Формулы (3.3), (3.4) называют преобразованием Галилея. Принцип относительности Галилея можно сформулировать как требование инвариантности уравнений движения механики по отношению к этому преобразованию.
