Переходя к определению вида функции Лагранжа, рассмотрим сначала простейший случай — свободное движение материальной точки относительно инерциальной системы отсчета. Как мы уже видели, функция Лагранжа в этом случае может зависеть лишь от квадрата вектора скорости. Для выяснения вида этой зависимости воспользуемся принципом относительности Галилея.
Если инерциальная система отсчета К движется относительно инерциальной системы отсчета К' с бесконечно малой скоростью ε, то v' = v + ε. Так как уравнения движения во всех системах отсчета должны иметь один и тот же вид, то функция Лагранжа L(
’2) должна при таком преобразовании перейти в функцию L', которая если и отличается от L(2), то лишь на полную производную от функции координат и времени.
Имеем
L’ = L(’2) = L(2+2vε+ε2).
Разлагая это выражение в ряд по степеням ε и пренебрегая бесконечно малыми высших порядков, получаем
L(’2) = L(2) + 
2vε.
Второй член первой части этого равенства будет полной производной по времени только в том случае, если он зависит от скорости v линейно. Поэтому ∂L/∂2 от скорости не зависит, т.е. функция Лагранжа в рассматриваемом случае прямо пропорциональна квадрату скорости:
L = 
2 , (4.1)
где т — постоянная.
Из того что функция Лагранжа такого вида удовлетворяет принципу относительности Галилея в случае бесконечно малого преобразования скорости, непосредственно следует, что функция Лагранжа удовлетворяет этому принципу и в случае конечной скорости V системы отсчета К относительно К'. Действительно,
L’ = ’2 = (v+V)2 = 2 + 2 vV + V2
или
L’ = L + 
(2 r V + V2t ).
Второй член является полной производной и может быть опущен.
Величина m называется массой материальной точки. В силу свойства аддитивности функции Лагранжа, для системы невзаимодействующих точек имеем
L = 
(4.2)
Следует подчеркнуть, что лишь при учете этого свойства данное определение массы приобретает реальный смысл. Как уже было отмечено, всегда можно умножить функцию Лагранжа на любую постоянную; это не отражается на уравнениях движения. Для функции (4.2) такое умножение сводится к изменению единицы измерения массы; отношения же масс различных частиц, которые только и имеют реальный физический смысл, остаются при этом преобразовании неизменными.
Легко видеть, что масса не может быть отрицательной. В самом деле, согласно принципу наименьшего действия для действительного движения материальной точки из точки 1 пространства в точку 2 интеграл
S = 
dt
имеет минимум. Если бы масса была отрицательной, то для траекторий, по которым частица сначала быстро удаляется от 1, а затем быстро приближается к 2, интеграл действия принимал бы сколь угодно большие по абсолютной величине отрицательные значения, т.е. не имел бы минимума.
Полезно заметить, что
2 = 
= 
. (4.3)
Поэтому для составления функции Лагранжа достаточно найти квадрат длины элемента дуги dl в соответствующей системе координат.
В декартовых координатах, например, dl2 = dx2 + dy2 + dz2, и, следовательно,
L = (
2 + 
2 + 
2); (4.4)
в цилиндрических dl2 = dr2 + r2dφ2 + dz2 и
L = (
2 + r2
+ 2); (4.5)
в сферических dl2 = dr2 + r2dΘ2 + r2 sin2Θdφ2 и
L = (2 + r2
2 + r2sin2Θ2). (4.6)
