Страница 2 из 3
Поскольку это равенство должно иметь место при интегрировании по любому объему, то подынтегральное выражение должно быть равно нулю:
div j + 
= 0. (29.3)
Это и есть уравнение непрерывности в дифференциальном виде.
Легко убедиться в том, что выражение (28.1) для р в виде δ-функций автоматически удовлетворяет уравнению (29.3). Для простоты предположим, что имеется всего лишь один заряд, так что
ρ = eδ (r − r0).
Тогда ток
j = evδ (r − r0).
где v — скорость заряда. Найдем производную ∂ρ/∂t. При движении заряда меняются его координаты, т. е. меняется r0. Поэтому
= 
.
Но ∂r0/∂t есть не что иное, как скорость v заряда. Далее, поскольку ρ есть функция от r − r0,
= − 
Следовательно,
= − v grad ρ = − div ρv
(скорость v заряда не зависит, конечно, от r). Таким образом, мы приходим к уравнению (29.3).
В четырехмерной форме уравнение непрерывности (29.3) выражается равенством нулю 4-дивергенции 4-вектора тока:
= 0. (29.4)
