Спектральное разложение излучения в ультрарелятивистском случае

Интегрирование по dt заменяем интегрированием по dt', положив

dt = 1 −  dt' ,

и получаем

Еω =   nn − w(t') exp iωt' 1 − dt' .

Скорость v рассматривается здесь везде как постоянная величина; переменным является лишь ускорение w(t'). Введя обозначение

ω' = ω 1 −                              (77.5)

и соответствующую этой частоте компоненту Фурье ускорения, напишем E_ω в виде

Еω =   nn − w_ω'.

Наконец, согласно (66.9), находим окончательно для энергии, излученной в телесный угол do с частотой в dω:

d_nω =   nn − w_ω' do.                                (77.6)

Оценку порядка величины частот, в области которых сосредоточена основная часть излучения в случае (77.4), легко сделать, заметив, что компонента Фурье w_ω' заметно отлична от нуля, лишь если время 1/ω' или, что то же,

будет того же порядка, что и время а/v~a/c, в течение которого заметным образом меняется ускорение частицы. Поэтому находим

ω ~ .                                                                     (77.7)

Зависимость этих частот от энергии такая же, как и в (77.3), но коэффициент иной.

В произведенном (для обоих случаев (77.2) и (77.4)) исследовании подразумевалось, что полная потеря энергии частицей при ее прохождении через поле относительно мала. Покажем теперь, что к первому из рассмотренных случаев приводится также вопрос об излучении ультрарелятивистской частицей, полная потеря энергии которой сравнима с ее первоначальной энергией.

Потерю энергии частицей в поле можно определить как работу силы лоренцева трения. Работа силы (76.4) на пути ~а есть, по порядку величины,

af ~ .

Для того чтобы она оказалась сравнимой с полной энергией частицы mс²/, поле должно существовать на расстояниях

a ~ .

Но тогда автоматически соблюдается условие (77.2):

aeF ~ ≫ mc² ,

поскольку поле F во всяком случае должно удовлетворять условию (76.5), без которого вообще не может применяться обычная электродинамика.