Уравнения Гамильтона

Формулирование законов механики с помощью функции Лагранжа (и выводимых из нее уравнений Лагранжа) предполагает описание механического состояния системы путем задания ее обобщенных координат и скоростей. Такое описание, однако, не является единственно возможным. Ряд преимуществ, в особенности при исследовании различных общих вопросов механики, представляет описание с помощью обобщенных координат и импульсов системы. В связи с этим возникает вопрос о нахождении уравнений движения, отвечающих такой формулировке механики.

Переход от одного набора независимых переменных к другому можно совершить путем преобразования, известного в математике под названием преобразования Лежандра. В данном случае оно сводится к следующему.

Полный дифференциал функции Лагранжа как функции координат и скорости равен

dL = dq_i + d_i .

Это выражение можно написать в виде

dL = _i dq_i + p_i d_i,                                            (40.1)

поскольку производные ∂L/∂_i являются, по определению, обобщенными импульсами, a ∂L/∂q_i=_i в силу уравнений Лагранжа.

Переписав теперь второй член в (40.1) в виде

p_i d_i = d ( p_{i i}) − _i dp_i ,

перенеся полный дифференциал d ( p_{i i}) в левую часть равенства и изменив все знаки, получим из (40.1):

d ( p_{i i} − L) = − _i dq_i + _i dp_i .

Величина, стоящая под знаком дифференциала, представляет собой энергию системы (см. § 6); выраженная через координаты и импульсы, она называется гамильтоновой функцией системы

H (p, q, t) = p_{i i} − L.                                              (40.2)

Из дифференциального равенства

dH = − _i dq_i + _i dp_i ,                                          (40.3)

следуют уравнения

_i = ,  _i = .                                                      (40.4)

Это — искомые уравнения движения в переменных p и q, так называемые уравнения Гамильтона. Они составляют систему 2s дифференциальных уравнений первого порядка для 2s неизвестных функций p(t) и q(t), заменяющих собой s уравнений второго порядка лагранжевого метода. Ввиду их формальной простоты и симметрии эти уравнения называют также каноническими.

Полная производная от функции Гамильтона по времени

=  +   _i +  _i .