Страница 1 из 2
Формулирование законов механики с помощью функции Лагранжа (и выводимых из нее уравнений Лагранжа) предполагает описание механического состояния системы путем задания ее обобщенных координат и скоростей. Такое описание, однако, не является единственно возможным. Ряд преимуществ, в особенности при исследовании различных общих вопросов механики, представляет описание с помощью обобщенных координат и импульсов системы. В связи с этим возникает вопрос о нахождении уравнений движения, отвечающих такой формулировке механики.
Переход от одного набора независимых переменных к другому можно совершить путем преобразования, известного в математике под названием преобразования Лежандра. В данном случае оно сводится к следующему.
Полный дифференциал функции Лагранжа как функции координат и скорости равен
dL =
dqi +
d
i .
Это выражение можно написать в виде
dL =
i dqi +
pi d
i, (40.1)
поскольку производные ∂L/∂
i являются, по определению, обобщенными импульсами, a ∂L/∂qi=
i в силу уравнений Лагранжа.
Переписав теперь второй член в (40.1) в виде
pi d
i = d (
pi
i) −
i dpi ,
перенеся полный дифференциал d (
pi
i) в левую часть равенства и изменив все знаки, получим из (40.1):
d (
pi
i − L) = −
i dqi +
i dpi .
Величина, стоящая под знаком дифференциала, представляет собой энергию системы (см. § 6); выраженная через координаты и импульсы, она называется гамильтоновой функцией системы
H (p, q, t) =
pi
i − L. (40.2)
Из дифференциального равенства
dH = −
i dqi +
i dpi , (40.3)
следуют уравнения
i =
,
i =
. (40.4)
Это — искомые уравнения движения в переменных p и q, так называемые уравнения Гамильтона. Они составляют систему 2s дифференциальных уравнений первого порядка для 2s неизвестных функций p(t) и q(t), заменяющих собой s уравнений второго порядка лагранжевого метода. Ввиду их формальной простоты и симметрии эти уравнения называют также каноническими.
Полная производная от функции Гамильтона по времени
=
+
i +

i .